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{{NoteTA
| 1=zh-cn:掩码; zh-tw:遮罩;
}}
'''改進型韋格納分佈'''(modified Wigner distribution function)，用於[[時頻分析]]的一種方法，屬於[[信號處理]]的範疇。它改進了韋格納分佈原有的相交項(cross term)的問題。<br />韋格納分佈是西元1932年由[[尤金·維格納]]所提出用於[[古典力學]]，但是亦可用於時頻分析。韋格納分佈與[[短時距傅立葉變換]]都可用於時頻分析，雖然前者通常擁有較高的解析度且有良好的數學特性，但當有兩個以上的信號成分時，韋格納分佈就會出現相交項問題，這在應用上造成很大的困擾。<br />因此在西元1995年,L. J. Stankovic和S. Stankovic提出了改進型韋格納分佈，以修正韋格納分佈中會出現的相交項問題。

== 原理 ==
===韋格納分佈的數學定義===
:<math> W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f}d\tau</math><math>=\int_{-\infty}^{\infty} X(f+\eta/2)\cdot X^*(f-\eta/2)e^{j2\pi t\eta}\cdot d\eta</math>
=== 改進型韋格納分佈的數學定義 ===
為了改善韋格納分佈的相交項(cross-term)問題，改進型韋格納分佈在此引入了一個類似遮罩(mask)的函數，將相交項過濾掉。
**<span style="font-size:larger;">定義一</span>：:<math> W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}w(\tau/2)w^*(-\tau/2)x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f}d\tau</math>              
:，其中w(t)為遮罩函數. 常為方波，其方波寬度為參數B。可寫成 <math> w(t)=\begin{cases} 1 \ \ \ if\ |t|<B \\ 0\ \ \ otherwise\end{cases}</math>
**<span style="font-size:larger;">定義二</span>：:<math> W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}P(\theta)Y(t,f+\theta/2)Y^*(t,f-\theta/2)d\theta</math><br />， 其中 <math> Y(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}w(\tau)x(t+\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau</math>； <math>P(\theta)\,</math> 類似遮罩函數，
:<math>P(\theta)\approx1\ </math>， 當θ很小
:<math>P(\theta)\approx0\ </math>， 當θ很大
:適當地選擇<math>P(\theta)\approx1\ </math>的範圍。若選的範圍太小，將會破壞原本的項(auto term)。
:* 定義三：<math>W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} w(\tau)x^L(t+\tfrac{\tau}{2L})\cdot \overline{x^L(t-\tfrac{\tau}{2L})}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau</math>    
:增加 L 可以減少相交項(cross-term)的影響(但是不會完全消除)
:
:* 定義四：<math>W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} [\prod_{l=1}^{q/2}x(t+d_l\tau)x^*(t-d_{-l}\tau)]e^{-j2\pi \tau f}d\tau</math>  
:當 q = 2 和 <math>d_{l} = d_{-l} = 0.5</math>，就是原本的韋格納分佈。  
:當指數函數的次項不超過 q/2 +1時，就可以避免相交項(cross-term)  
:然而，相交項(cross-term)會介於兩個訊號之間，無法完全被移除。
::<說明>
::定義四的維格納分布又稱為多項型維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function)
::::<math>W_x(t,f) 
= \int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2} + 1} n a_n  t^{n-1} \tau} \ e^{-j2\pi\tau f} d\tau 
= \int_{-\infty}^{\infty} [\prod_{\ell=1}^{q/2}x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau)]e^{-j2\pi \tau f}d\tau</math>
::If <math>x(t) = e^{j2\pi \sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}n a_n t^{n} }</math>
::所以 <math>d_\ell</math> 必須要能滿足下面的式子：
::::<math>
 e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2} + 1} n a_n  t^{n-1} \tau}
= \prod_{\ell=1}^{q/2}x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau)</math>
::::<math>W_x(t,f) 
= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi(f-\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1})n a_n t^{n-1} \tau} d\tau
\cong \delta(f-\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}n a_n t^{n-1} \tau)</math>
::其中 <math>\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}n a_n t^{n-1}</math>為  <math>x(t)</math> 的瞬時頻率
::接下來，我們來看 <math>d_\ell</math> 要怎麼設定：
::(1) 當 <math>q = 2</math> 的時候：    <math>x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau)
= e^{j2\pi \sum_{n=1}^{2}n a_n t^{n-1} \tau}</math>
::如果我們把 <math>x(t) = e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}a_nt^n}</math>代入，可以得到下列式子：
::::<math>a_2(t+d_1\tau)^2 + a_1(t+d_1\tau) - a_2(t-d_{-1}\tau) - a_1(t-d_{-1}\tau) = 2 a_2 t \tau +a_1\tau</math>
::::<math>\begin{cases} d_1 + d_{-1} = 1 \\ d_1 - d_{-1} = 0 \end{cases}</math> <math>\Longrightarrow \begin{cases} d_1 = \tfrac{1}{2} \\ d_{-1} = \tfrac{1}{2} \end{cases}</math>
::由此可以知道，當 <math>q = 2</math> 並且 <math>d_{-1} = d_1 = \tfrac{1}{2} </math> 時，多項型的維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function) 就會與原始的維格納分布相同
::::<math>W_x(t,f) 
= \int_{-\infty}^{\infty} [\prod_{l=1}^{q/2}x(t+d_l\tau)x^*(t-d_{-l}\tau)]e^{-j2\pi \tau f}d\tau
= \int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f}d\tau , 
\quad  if \quad q = 2 ,\  d_{-1} = d_1 = \tfrac{1}{2} </math>
::(2) 當 <math>q = 4</math> 的時候：    <math>x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau)
= e^{j2\pi \sum_{n=1}^{3}n a_n t^{n-1} \tau}</math>
::如果我們把 <math>x(t) = e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}a_nt^n}</math>代入，可以得到下列式子：
::::<math>a_3(t+d_1\tau)^3 + a_2(t+d_1\tau)^2 + a_1(t+d_1\tau)
a_3(t+d_2\tau)^3 + a_2(t+d_2\tau)^2 + a_1(t+d_2\tau)
-a_3(t+d_{-1}\tau)^3 - a_2(t+d_{-1}\tau)^2 - a_1(t+d_{-1}\tau)
-a_3(t+d_{-2}\tau)^3 - a_2(t+d_{-2}\tau)^2 - a_1(t+d_{-2}\tau)
</math>
::::<math>= 3 a_3 t^2 \tau + 2 a_2 t \tau +a_1\tau</math>
::::<math>\begin{cases} a_3(t+d_1\tau)^3 + a_3(t+d_2\tau)^3 -a_3(t+d_{-1}\tau)^3 -a_3(t+d_{-2}\tau)^3 
\\a_2(t+d_1\tau)^2 + a_2(t+d_2\tau)^2 - a_2(t+d_{-1}\tau)^2 - a_2(t+d_{-2}\tau)^2 
\\a_1(t+d_1\tau) + a_1(t+d_2\tau) - a_1(t+d_{-1}\tau) - a_1(t+d_{-2}\tau) \end{cases}
</math><math>= \begin{cases} 3 a_3 t^2 \tau \\ 2 a_2 t \tau \\ a_1\tau \end{cases}

</math>
::所以我們可以得到
::::<math>\begin{cases} d_1 + d_2 +d_{-1} + d_{-2} = 1 
\\ {d_1}^2 + {d_2}^2 - {d_{-1}}^2 - {d_{-2}}^2 = 0 
\\ {d_1}^3 + {d_2}^3 + {d_{-1}}^3 + {d_{-2}}^3 = 0  \end{cases}</math>
::可以看到如果 <math>q</math> 太大，<math>d_\ell</math> 會不好設計。
:

== 性能表現 ==
在此有兩個例子來說明'''改進型韋格納分佈'''確實能消除相交項。
# '''<math>x(t)=\begin{cases} \cos(3\pi t) \ \ \ t\le-4 \\ \cos(6\pi t)\ \ \ -4<t\le4 \ \ \  \\ \cos(4\pi t) \ \ \ t>4 \end{cases}</math>'''
[[File:MWDF0.jpg]]
:左圖是韋格納分佈；右圖是改進型韋格納分佈。可以很明顯地看出，改進型韋格納分佈大大地改進相交項的問題，相對地增加清晰度。
# '''<math> x(t)=\exp(j \cdot(t-5)^3-j \cdot 6 \pi \cdot t)</math>'''
[[File:MWDF1.jpg]]
:左圖是韋格納分佈；右圖是改進型韋格納分佈。明顯地看出，改進型韋格納分佈確實可改進相交項的問題，同時增加清晰度。
== 同時參閱 ==
*[[信號處理]]
*[[時頻分析]]
*[[短時距傅立葉變換]]

== 參考資料 ==

*Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.
*L. J. Stankovic, S. Stankovic, and E. Fakultet, 「An analysis of instantaneous frequency representation using time frequency distributions-generalized Wigner distribution,」 IEEE Trans. on Signal Processing, pp. 549-552, vol. 43, no. 2, Feb. 1995
*Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2017.
*Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.

[[Category:信號處理|G]]