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{{Unreferenced|time=2024-03-13T22:21:13+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''擴展實數線'''又稱'''廣義實數'''（{{lang-en|extended real number}}），由[[實數線]]<math>\R</math>加上<math>+\infty</math>和<math>-\infty</math>得到（注意<math>+\infty</math>和<math>-\infty</math>并不是实数），写作<math>\overline\R</math>、{{math|[−∞, +∞]}}或{{math|ℝ ∪ {−∞, +∞}|}}。在不會混淆時，符號 {{math|+∞}}常簡寫成{{math|∞}}。扩展的實數線在研究[[数学分析]]，特别是[[积分]]时非常有用。

== 扩展 ==
对任意[[实数]]<math>a</math>，定义<math>-\infty < a < +\infty</math>，扩展的实数轴就成了一个[[全序集]]。这种集合有种非常好的性质，就是其所有[[子集]]都有[[上确界]]和[[下确界]]：这是一个[[完备格]]。全序关系在<math>\overline\R</math>上引入了[[拓扑学|拓扑]]。在这个拓扑中，集合<math>U</math>是<math>+\infty</math>的[[邻域]]，当且仅当它包含集合<math>\left\{ x : x > a \right\}</math>，这里<math>a</math>是某个实数。<math>-\infty</math>的邻域类似。<math>\overline\R</math>是个[[紧致]]的[[豪斯多夫空间]]，与单位[[区间]]<math>\left[ 0, 1 \right]</math>[[同胚]]。

<math>\R</math>上的算术运算可以部分地扩展到<math>\overline\R</math>，如下：

:<math>
\begin{array}{l}
a + \infty = +\infty + a = +\infty & a \neq -\infty \\
a - \infty = -\infty + a = -\infty & a \neq +\infty \\
a \cdot \left( \pm\infty \right) = \pm\infty \cdot a = \pm\infty & a \in \left( 0, +\infty \right] \\
a \cdot \left( \pm\infty \right) = \pm\infty \cdot a = \mp\infty & a \in \left[ -\infty, 0 \right) \\
\dfrac{a}{\pm\infty} = 0 & a \in \R \\
\dfrac{\pm\infty}{a} = \pm\infty & a \in \left( 0, +\infty \right) \\
\dfrac{\pm\infty}{a} = \mp\infty & a \in \left( -\infty, 0 \right)
\end{array}
</math>

通常不定义<math>\infty - \infty, 0 \cdot \left( \pm\infty \right), \frac{\pm\infty}{\pm\infty}</math>,<math>\frac{a}{0}</math>。同时<math>\frac{1}{0}</math>也不定义为<math>+\infty</math>（因為這樣忽視了<math>-\infty</math>），这些规则是根据无穷[[极限_(数学)|极限]]的性质确定的。

注意在这些定义下，<math>\overline\R</math>不是[[域 (数学)|域]]，也不是[[环 (代数)|环]]。

== 性质 ==
经过上述定义，扩展的实数轴仍有很多实数的性质：
* <math>a + \left( b + c \right)</math>和<math>\left( a + b \right) + c</math>相等或同时没有定义。
* <math>a + b</math>和<math>b + a</math>相等或同时没有定义。
* <math>a \cdot \left( b \cdot c \right)</math>和<math>\left( a \cdot b \right) \cdot c</math>相等或同时没有定义。
* <math>a \cdot b</math>和<math>b \cdot a</math>相等或同时没有定义。
* <math>a \cdot \left( b + c \right)</math>和<math>\left( a \cdot b \right) + \left( a \cdot c \right)</math>若都有定义则相等。
* 若<math>a \le b</math>且<math>a + c</math>和<math>b + c</math>都有定义，则<math>a + c \le b + c</math>。
* 若<math>a \le b</math>且<math>c>0</math>且<math>a \cdot c</math>和<math>b \cdot c</math>都有定义，则<math>a \cdot c \le b \cdot c</math>。
通常只要表达式都有定义，所有算术性质在<math>\overline\R</math>上都成立。

使用极限，一些[[函数]]可以自然地扩展到<math>\overline\R</math>。例如可以定义<math>\rm{e}^{-\infty} = 0, \rm{e}^{+\infty} = +\infty, \ln{0} = -\infty, \ln{\left( +\infty \right)} = +\infty</math>等。

== 参见 ==
* [[扩展的复平面]]

{{實數}}
[[Category:实分析]]
[[Category:无穷]]