查看“︁提升指數引理”︁的源代码

在[[初等數論]]中，'''指数提升引理'''（{{lang-en|lifting-the-exponent lemma}}，又稱'''LTE引理'''或'''升冪引理'''）給出一些形如 <math>x^n \pm y^n</math> 的整數所含的質因數 <math>p</math> 的次數，即其[[p進賦值|''p''進賦值]]<math>\nu_p(x^n \pm y^n)</math>。

== 背景 ==
提升指數引理的起源並不明確。該引理目前的形式和名稱也只是在過去10至20年内引起人們的關注。<ref name="Pavardi">Pavardi, A. H. (2011). Lifting The Exponent Lemma (LTE). Retrieved July 11, 2020, from http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.221.5543 {{Wayback|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.221.5543 |date=20220810150347 }} (Note: The old link to the paper is broken; try https://s3.amazonaws.com/aops-cdn.artofproblemsolving.com/resources/articles/lifting-the-exponent.pdf {{Wayback|url=https://s3.amazonaws.com/aops-cdn.artofproblemsolving.com/resources/articles/lifting-the-exponent.pdf |date=20230628053315 }} instead.)</ref>但[[卡爾·弗里德里希·高斯|高斯]]已經知道這個引理的證明中的幾個關鍵思想，并在他的[[算术研究|《算术研究》]]中引用。<ref>Gauss, C. (1801) ''Disquisitiones arithmeticae.'' Results shown in Articles 86–87. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235993352?tify={%22pages%22%3A%5B70%5D} {{Wayback|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235993352?tify=%7B%22pages%22%3A%5B70%5D%7D |date=20230628053316 }}</ref>儘管該引理主要應用在[[数学竞赛列表|数学奥林匹克竞赛]]中，它有時也用於數學研究，例如[[椭圆曲线|橢圓曲線]]。<ref>Geretschläger, R. (2020). ''Engaging Young Students in Mathematics through Competitions – World Perspectives and Practices.'' World Scientific. https://books.google.com/books?id=FNPkDwAAQBAJ&pg=PP1 {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=FNPkDwAAQBAJ&pg=PP1 |date=20230630022818 }}</ref><ref>Heuberger, C. and Mazzoli, M. (2017). Elliptic curves with isomorphic groups of points over finite field extensions. ''Journal of Number Theory, 181'', 89–98. https://doi.org/10.1016/j.jnt.2017.05.028</ref>

== 定理內容 ==
对于任意整数 <math>x</math>, <math>y</math>，正整数 <math>n</math>，和素数 <math>p</math> 使得 <math>p \nmid x</math>，<math>p \nmid y</math>，有下述的公式：

* <math>p</math> 為奇數時：
** 如果 <math>p \mid x-y</math> ，那麼<math>\nu_p(x^n-y^n) = \nu_p(x-y)+\nu_p(n)</math> 。
** 如果 <math>n</math> 是奇數并且 <math>p \mid x+y</math> ，那麼 <math>\nu_p(x^n+y^n) = \nu_p(x+y)+\nu_p(n)</math> 。
* <math>p = 2</math> 時 :
** 如果 <math>2 \mid x-y</math> 且 <math>n</math> 為偶數，那麼 <math>\nu_2(x^n-y^n) = \nu_2(x-y)+\nu_2(x+y)+\nu_2(n)-1</math> 。
** 如果 <math>2 \mid x-y</math> 且 <math>n</math> 為奇數，那麼 <math>\nu_2(x^n-y^n) = \nu_2(x-y)</math> 。（可以從下的一般情況得出）
** 推論：
*** 如果 <math>4 \mid x-y</math> ，那 <math>\nu_2(x+y)=1</math> 因此有 <math>\nu_2(x^n-y^n) = \nu_2(x-y)+\nu_2(n)</math> 。
* 對任意質數 <math>p</math> ：
** 如果 <math>\gcd(n,p) = 1</math> 且 <math>p \mid x-y</math> ，那麼 <math>\nu_p(x^n-y^n) = \nu_p(x-y)</math> 。
** 如果 <math>\gcd(n,p) = 1</math> , <math>p \mid x+y</math> 且 <math>n</math> 為奇數，那麼 <math>\nu_p(x^n+y^n) = \nu_p(x+y)</math> 。

== 參考資料 ==
{{reflist}}

[[Category:数论引理]]