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{{Otheruses|subject=蒙特卡洛模拟中的方差减少技术|other=科学实验中的控制变量|控制變數}}

'''控制变量法'''（{{lang-en|control variates}}）是在[[蒙特卡洛方法]]中用于减少[[方差]]的一种技术方法。该方法通过对已知量的了解来减少对未知量估计的误差。

== 原理 ==
假设要估计的参数为<math>\mu</math>。同时对于统计<math>m</math>，其[[期望值]]为<math>\mu</math>：<math>\mathbb{E}\left[m\right]=\mu</math>，即<math>m</math>是<math>\mu</math>的[[估计量的偏差|无偏差估计]]。此时，对于另一个统计<math>t</math>，已知<math>\mathbb{E}\left[t\right]=\tau</math>。于是，
:<math>m^\star = m + c\left(t-\tau\right) \, </math>

也是<math>\mu</math>的无偏差估计，<math>c</math>为任一给定系数。<math>m^\star</math>的方差为
:<math>\textrm{Var}\left(m^{\star}\right)=\textrm{Var}\left(m\right) + c^2\,\textrm{Var}\left(t\right) + 2c\,\textrm{Cov}\left(m,t\right);</math>

可以证明，使得方差最小的系数<math>c</math>为
:<math>c^\star = - \frac{\textrm{Cov}\left(m,t\right)}{\textrm{Var}\left(t\right)}; </math>

此时，对应的方差则为
:<math>\begin{align}
\textrm{Var}\left(m^{\star}\right) & =\textrm{Var}\left(m\right) - \frac{\left[\textrm{Cov}\left(m,t\right)\right]^2}{\textrm{Var}\left(t\right)} \\
& = \left(1-\rho_{m,t}^2\right)\textrm{Var}\left(m\right);
\end{align} </math>

其中
:<math>\rho_{m,t}=\textrm{Corr}\left(m,t\right)\, </math>
为<math>m</math>与<math>t</math>之间的[[皮尔逊积矩相关系数|相关系数]]。<math>\vert\rho_{m,t}\vert</math>越大时，方差越小。

当<math>\textrm{Cov}\left(m,t\right)</math>、<math>\textrm{Var}\left(t\right)</math>或<math>\rho_{m,t}\;</math>未知时，可以通过蒙特卡洛模拟进行估计。由于该方法相当于一个[[最小二乘法]]系统，又被称为'''回归抽样'''（{{lang|en|regression sampling}}）。

== 示例 ==
假设我们要使用蒙特卡洛方法估计
:<math>I = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, \mathrm{d}x,</math>

即估计
:<math>f(U) = \frac{1}{1+U}</math>

的期望值。其中，<math>U</math>满足[[连续型均匀分布|均匀分布]]。假设有''n''个[[样本]]<math>u_1, \cdots, u_n</math>，该估计可表示为
:<math>I \approx \frac{1}{n} \sum_i f(u_i); </math>

此时，我们引入控制变量<math>g(U) = 1+U</math>，其已知期望值为<math>\mathbb{E}\left[g\left(U\right)\right]=\int_0^1 (1+x) \, \mathrm{d}x=\tfrac{3}{2} </math>。由此，可以得到新的估计
:<math>I \approx \frac{1}{n} \sum_i f(u_i)+c\left(\frac{1}{n}\sum_i g(u_i) -3/2\right). </math>

以下为<math>n=1500</math>并使用估计的最优系数<math> c^\star \approx 0.4773 </math>时，一次蒙特卡洛模拟所给出的积分估计值：

{| class="wikitable"
|
| align="right" | '''估计'''
| align="right" | '''标准差'''
|-
| 普通模拟
| align="right" | 0.69475
| align="right" | 0.01947
|-
| 控制变量法
| align="right" | 0.69295
| align="right" | 0.00060
|}

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* Ross, Sheldon M. (2002) ''Simulation'' 3rd edition {{ISBN|978-0-12-598053-1}}
* Averill M. Law & W. David Kelton (2000), ''Simulation Modeling and Analysis'', 3rd edition. {{ISBN|0-07-116537-1}}
* S. P. Meyn (2007) ''Control Techniques for Complex Networks'', Cambridge University Press. {{ISBN|978-0-521-88441-9}}.  [https://web.archive.org/web/20100619011046/https://netfiles.uiuc.edu/meyn/www/spm_files/CTCN/CTCN.html  Downloadable draft] (Section 11.4: Control variates and shadow functions)

[[Category:蒙地卡罗方法]]
[[Category:计算统计学]]