查看“︁换元积分法”︁的源代码

{{Unreferenced|time=2024-12-04T20:10:26+00:00}}
{{noteTA
|T=zh-hans:换元积分法;zh-tw:代換積分法
|1=zh-hans:换元;zh-tw:代換}}
{{微积分学}}
'''换元积分法'''，又稱'''變數變換法'''（{{lang-en|Integration by substitution}}），是求[[积分]]的一种方法，由[[链式法则]]和[[微积分基本定理]]推导而来。

==第一类换元法==
设<math>f(x)\ </math>为可积函数，<math>g=g(x)\ </math>为连续可导函数，则有：

:<math>
\int^\beta_\alpha f(g)g'\mathrm{d}x=\int^{g(\beta)}_{g(\alpha)}f(g)\mathrm{d}g 
</math>

第一类换元法的基本思想是配凑的思想。

==第二类换元法==
设<math>f(x)\ </math>为可积函数，<math>x=x(g)\ </math>为连续可导函数，则有：

:<math>\int^\beta_\alpha f(x)\mathrm{d}x=\int^{x^{-1}(\beta)}_{x^{-1}(\alpha)}f(x(g))x'\mathrm{d}g</math>

在遇到类似<math>\sqrt{x^2-a^2}</math>、<math>\sqrt{x^2+a^2}</math>和<math>\sqrt{a^2-x^2}</math>的式子时，通常采取分别令<math>x= \pm a\sec t</math>、<math>x= \pm a\tan t</math>或<math>x= \pm a\sin t</math>进行换元<ref>换元的过程需要注意指明新变量的取值范围。</ref>，得到关于<math>t</math>的一个原函数。如果要计算不定积分，则再由<math>x</math>与<math>t</math>的关系还原即可；如果要计算定积分，只需在变换后的积分限<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>下计算相应的定积分即可。

==例子==
计算积分<math>\int^2_0x\cos(x^2+1)\,dx</math>。
<br/>
===引入另外一個變數===
設 <math>u=x^2+1</math>, 則 <math>du=2xdx</math><br />
當 <math>x=0</math>, <math>u=1</math><br />
當 <math>x=2</math>, <math>u=5</math>

:<math>
\begin{align}
\therefore \int_0^2x\cos(x^2+1)dx &= \frac12\int_0^2{\underbrace{\cos ({{x}^{2}}+1)}_{\cos u}\cdot \underbrace{2xdx}_{du}}\\
&=\frac12\int_1^5\cos u\,du\\
&=\frac12\left[\sin u\right]_1^5\\
&=\frac12(\sin5-\sin1)
\end{align}
</math>

其中 <math>dx</math> 换元为 <math>du</math> 后，<math>\int^2_0</math> 亦变为 <math>\int^5_1</math>，是因为其形式为[[黎曼－斯蒂尔杰斯积分]]，但在黎曼－斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是 x 的取值范围，而不是 g(x) 的取值范围。<br />

===不引入另外一個變數===
:<math>
\begin{matrix}
   \because  & \displaystyle{\frac{d}{dx}({{x}^{2}}+1)=2x}  \\
   \therefore  & d({{x}^{2}}+1)=2xdx  \\
\end{matrix}

</math>

:<math>
\begin{align}
\therefore \int_0^2x\cos(x^2+1)dx &= \frac12\int_0^2{\cos ({{x}^{2}}+1)\cdot 2xdx}\\
&=\frac12\int_1^5\cos (x^2+1)\,d(x^2+1)\\
&=\frac12\left[\sin (x^2+1)\right]_1^5\\
&=\frac12(\sin5-\sin1)
\end{align}
</math>

==注释==
{{reflist}}

==参见==
*[[分部积分法]]

[[Category:积分学]]

[[es:Métodos de integración#Método de integración por sustitución]]