换元积分法

Template:Unreferenced Template:NoteTA Template:微积分学 换元积分法，又稱變數變換法（Template:Lang-en），是求积分的一种方法，由链式法则和微积分基本定理推导而来。

第一类换元法

设$f(x)$为可积函数，$g=g(x)$为连续可导函数，则有：

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(g)g^{\prime }\mathrm{d}x=\underset{g(\alpha )}{\overset{g(\beta )}{\int }}f(g)\mathrm{d}g$

第一类换元法的基本思想是配凑的思想。

第二类换元法

设$f(x)$为可积函数，$x=x(g)$为连续可导函数，则有：

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{x^{-1}(\alpha )}{\overset{x^{-1}(\beta )}{\int }}f(x(g))x^{\prime }\mathrm{d}g$

在遇到类似$\sqrt{x^2-a^2}$、$\sqrt{x^2+a^2}$和$\sqrt{a^2-x^2}$的式子时，通常采取分别令$x=\pm a\sec t$、$x=\pm a\tan t$或$x=\pm a\sin t$进行换元，得到关于$t$的一个原函数。如果要计算不定积分，则再由$x$与$t$的关系还原即可；如果要计算定积分，只需在变换后的积分限$\alpha$和$\beta$下计算相应的定积分即可。

例子

计算积分$\underset{0}{\overset{2}{\int }}x\cos (x^2+1)dx$。

引入另外一個變數

設 $u=x^2+1$, 則 $du=2xdx$
當 $x=0$, $u=1$
當 $x=2$, $u=5$

$\begin{array}{cc}\therefore \underset{0}{\overset{2}{\int }}x\cos (x^2+1)dx& =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}\underset{\cos u}{\underbrace{\cos (x^2+1)}}\cdot \underset{du}{\underbrace{2xdx}}\\ & =\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{5}{\int }}\cos udu\\ & =\frac{1}{2}{[\sin u]}_1^5\\ & =\frac{1}{2}(\sin 5-\sin 1)\end{array}$

其中 $dx$ 换元为 $du$ 后，$\underset{0}{\overset{2}{\int }}$ 亦变为 $\underset{1}{\overset{5}{\int }}$，是因为其形式为黎曼－斯蒂尔杰斯积分，但在黎曼－斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是 x 的取值范围，而不是 g(x) 的取值范围。

不引入另外一個變數

$\begin{array}{cc}\because & \frac{d}{dx}(x^2+1)=2x\\ \therefore & d(x^2+1)=2xdx\end{array}$

$\begin{array}{cc}\therefore \underset{0}{\overset{2}{\int }}x\cos (x^2+1)dx& =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}\cos (x^2+1)\cdot 2xdx\\ & =\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{5}{\int }}\cos (x^2+1)d(x^2+1)\\ & =\frac{1}{2}{[\sin (x^2+1)]}_1^5\\ & =\frac{1}{2}(\sin 5-\sin 1)\end{array}$

参见

• 分部积分法