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{{NoteTA|G1=Math}}

在[[抽象代数]]中，一个[[群]]的'''换位子群'''或'''导群'''，是指由这个群的所有[[交换子]]所生成的[[子群]]，记作[''G'',''G'']、''G′''或''G''<sup>(1)</sup> 。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群''G''的所有正规子群中，交换子群''G′''是使得''G''对它的[[商群]]为[[交换群]]的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群''G''的可交换程度。因为从交换子的定义：<math>[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}</math>，如果x与y交换，那么<math>[x,y]=e</math>。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。可交换群的交换子群为[[平凡群]]<math>\{e\}</math>。

==定义==

给定一个群''G''，''G''的交换子群或导群： [''G'',''G'']、''G′''或''G''<sup>(1)</sup>  是''G''的所有交换子所生成的子群：
:<math>[G,G] = \langle  g^{-1}h^{-1}gh \, | \, g, h \in G  \rangle .</math>


类似地可以定义高阶的导群。
:<math>G^{(0)} = G</math>
:<math>G^{(n)} = [G^{(n-1)},G^{(n-1)}] \quad n \in \mathbf{N}</math>

可以证明，如果存在自然数 n 使得 <math>G^{(n)} = {e} </math> ，那么''G''是[[可解群]]。

[[商群]]<math>G/[G,G]</math>是一个阿贝尔群，叫做''G''的'''阿贝尔化子群'''，通常记作''G''<sup>ab</sup>。''G''的阿贝尔化子群就是''G''的一阶[[同调]]群。 

<math>[G,G]=G</math>的群叫做'''完美群'''，这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群{e}。

===性质===


#<math>G^\prime</math>是<math>G</math>的[[正规子群]]。
#''G''对于自同构稳定：<math>\forall \phi \in Aut(G), \phi (G^\prime) = G^\prime  </math>。
#如果H是G的子群，那么<math>H^\prime \subseteq G^\prime</math>。
#<math>\pi : G_1 \to G_2 </math>是一个满[[同态]]，那么<math>\pi (G_1^\prime) = G_2^\prime</math>。
#如果H是G的[[正规子群]]，那么<math> G/H</math>是[[交换群]]，当且仅当<math>G^\prime \subseteq H</math>。
#:证明：<math>\pi_H : G \to G/H : a \mapsto Ha </math>是一个满同态，
#::所以，<math> G/H</math>是交换群
#::<math>\quad \Leftrightarrow \left\{ e \right\}= (G/H)^\prime = \pi_H(G^\prime) </math>
#::<math>\Leftrightarrow G^\prime \subseteq He = H</math>
#<math>G^\prime \subseteq G^\prime </math>，所以<math>G^{ab} = G/G^\prime</math> 可交换。

==交换子群的例子==

*4次[[对称群 (n次对称群)|交替群]]<math>A_4</math>的交换子群是[[克莱因四元群]]<math>V_4</math>。
*[[对称群 (n次对称群)|n次对称群]]<math>S_n</math>的交换子群是[[对称群 (n次对称群)|n次交替群]]<math>A_n</math>。
*[[四元群]]''Q'' = {1, &minus;1, ''i'', &minus;''i'', ''j'', &minus;''j'', ''k'', &minus;''k''} 的交换子群是 {1, &minus;1}。

==参见==

*[[群]]
*[[交换子]]
*[[正规子群]]
*[[可解群]]
*[[伽罗瓦理论]]


{{ModernAlgebra}}

[[Category:抽象代数|J]]
[[Category:群论|J]]