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[[File:LimSup.svg|right|thumb|300px|序列的振荡（蓝色）是序列的上极限和下极限的差值。]]

[[数学]]中，[[函数]]或[[序列]]的'''振荡'''是用于量化序列或函数在接近无穷大或某一点时，其[[极值]]之间的变化程度的数字。与[[极限 (数学)|极限]]类似，有好几种定义将这一只管概念转化为适合数学处理的形式：[[实数]]序列的振荡、[[实值函数]]在一点的振荡，以及函数在[[区间]]（或[[开集]]）上的振荡。

==定义==
===序列的振荡===
令<math>(a_n)</math>为实数序列。则序列的<math>\omega(a_n)</math>振荡可定义为<math>(a_n)</math>的上下极限之间的差（可能是无穷大）：

:<math>\omega(a_n) = \limsup_{n\to\infty} a_n - \liminf_{n\to\infty} a_n</math>.

当且仅当序列收敛时，振荡为零。若<math>\limsup_{n\to\infty}</math>、<math>\liminf_{n\to\infty}</math>都等于+∞或−∞，即序列趋近于+∞或−∞，则称振荡未定义。

===开集函数的振荡===
令<math>f</math>为实变量的实值函数，则<math>f</math>在区间<math>I</math>上的振荡是<math>f</math>的上下[[确界]]之差：
:<math>\omega_f(I) = \sup_{x\in I} f(x) - \inf_{x\in I} f(x).</math>
更一般地说，若<math>f:X\to\mathbb{R}</math>是[[拓扑空间]]<math>X</math>（如[[度量空间]]）上的函数，则<math>f</math>在[[开集]]<math>U</math>上的振荡为
:<math>\omega_f(U) = \sup_{x\in U} f(x) - \inf_{x\in U}f(x).</math>

===函数在一点的振荡===
实变函数<math>f</math>在<math>x_0</math>处的振荡定义为<math>f</math>在<math>x_0</math>的<math>\epsilon</math>邻域上的振荡在<math>\epsilon\to 0</math>时的极限：
:<math>\omega_f(x_0) = \lim_{\epsilon\to 0} \omega_f(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon).</math>
这等同于函数在<math>x_0</math>处的上下极限之差，前提是<math>x_0</math>不被排除在极限之外。

更一般地说，若<math>f:X\to\mathbb{R}</math>是[[度量空间]]上的实值函数，则振荡为
:<math>\omega_f(x_0) = \lim_{\epsilon\to 0} \omega_f(B_\epsilon(x_0)).</math>

==示例==
[[File:The function sin(1 over x).svg|thumb|sin (1/''x'')（[[拓扑学家正弦曲线]]）在''x'' = 0处的振荡为2，其他地方都是0。]]
*<math>\frac {1}{x}</math>在<math>x=0</math>处有无穷大的振荡，其他地方均为0。
*<math>\sin \frac {1}{x}</math>（[[拓扑学家正弦曲线]]）在<math>x=0</math>处的振荡为2，其他地方均为0。
*<math>\sin x</math>在所有有限的<math>x</math>处的振荡均为0，在−∞、+∞处为2。
*<math>(-1)^x</math>（1, -1, 1, -1, 1, -1...）的振荡为2。

最后一例的序列是周期的，而任何周期（非常值）序列的振荡必不是0。不过，非零振荡无法推出周期性。

从几何角度看，实数振荡函数的图形会沿着xy平面上的某条路径运行，而不会收敛到越来越小的区域。在[[良态]]情况下，路径可能看起来像一个循环，即周期性行为；在最糟糕的情况下，则是覆盖整个区域的非常不规则的运动。

== 连续性 ==
振荡可以用来定义函数的[[连续性]]，并且很容易等价于通常的''ε''-''δ''定义（对于定义在实线各处的函数）：当且仅当振荡为0时，函数ƒ在''x''<sub>0</sub>处连续；<ref>''[http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF Introduction to Real Analysis] {{Wayback|url=http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF |date=20171013085349 }},'' updated April 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, p. 172</ref>用符号表示为<math>\omega_f(x_0) = 0.</math>这个定义的好处在于量化了不连续性：振荡给出了函数在某点的不连续程度。

例如，在[[间断点]]的分类中有：
* '''可去间断点'''的函数偏移值等于震荡；
* '''跳跃间断点'''的函数跳跃值等于震荡（假设该点的值位于两侧极限之间）；
* '''第二类间断点'''中，振荡衡量了极限不存在的程度。

[[描述集合论]]中，这个定义有助于研究间断点和连续点的集合：连续点是振荡小于''ε''的集合的交集（于是是[[Gδ集|G<sub>δ</sub>集]]），并给出了勒贝格可积条件一个方向的快速证明。<ref>''[http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF Introduction to Real Analysis] {{Wayback|url=http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF |date=20171013085349 }},'' updated April 2010, William F. Trench, 3.5 "A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral", pp. 171–177</ref>

通过简单的重排和极限（[[上极限和下极限]]）来定义振荡，可以等价于''ε''-''δ''定义：若（在某点）对给定的''ε''<sub>0</sub>，没有能满足''ε''-''δ''条件的''δ''，则振荡大于等于''ε''<sub>0</sub>；反之，若对每个''ε''都有能满足的''δ''，则振荡为0。振荡定义可以自然地推广到从拓扑空间到度量空间的映射。

==推广==
更一般地，设''f'' : ''X'' → ''Y''是[[拓扑空间]]''X''到[[度量空间]]''Y''的函数，则'''''f''的振荡'''可定义在每个''x'' ∈ ''X''：

:<math>\omega(x) = \inf\left\{\mathrm{diam}(f(U))\mid U\mathrm{\ is\ a\  neighborhood\ of\ }x\right\}</math>

== 另见 ==
* [[波动函数]]
* [[包络]]
* [[格兰迪级数]]
* [[有界平均振动]]

==参考文献==
{{reflist}}

==阅读更多==
{{refbegin}}
*{{cite book|author=Hewitt and Stromberg|title=Real and abstract analysis|url=https://archive.org/details/realabstractanal00hewi_0|url-access=registration|page=[https://archive.org/details/realabstractanal00hewi_0/page/78 78]|publisher=Springer-Verlag|year=1965|isbn=9780387901381}}
*{{cite book|author=Oxtoby, J|title=Measure and category|publisher=Springer-Verlag|edition=4th|year=1996|pages=31–35|isbn=978-0-387-90508-2}}
*{{cite book |last       = Pugh
 |first      = C. C.
 |title      = Real mathematical analysis
 |publisher  = New York: Springer
 |date       = 2002
 |pages      = [https://archive.org/details/realmathematical00char/page/164 164–165]
 |isbn       = 0-387-95297-7
 |url-access = registration
 |url        = https://archive.org/details/realmathematical00char/page/164
}}
{{refend}}

[[Category:实分析]]
[[Category:极限]]
[[Category:序列]]
[[Category:函数]]
[[Category:振荡]]