振荡 (数学)

序列的振荡（蓝色）是序列的上极限和下极限的差值。

数学中，函数或序列的振荡是用于量化序列或函数在接近无穷大或某一点时，其极值之间的变化程度的数字。与极限类似，有好几种定义将这一只管概念转化为适合数学处理的形式：实数序列的振荡、实值函数在一点的振荡，以及函数在区间（或开集）上的振荡。

定义

序列的振荡

令$(a_n)$为实数序列。则序列的$\omega (a_n)$振荡可定义为$(a_n)$的上下极限之间的差（可能是无穷大）：

$\omega (a_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{a}_n$.

当且仅当序列收敛时，振荡为零。若$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}$、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}$都等于+∞或−∞，即序列趋近于+∞或−∞，则称振荡未定义。

开集函数的振荡

令$f$为实变量的实值函数，则$f$在区间$I$上的振荡是$f$的上下确界之差：

${\omega }_f(I)=\underset{x\in I}{\sup }f(x)-\underset{x\in I}{\inf }f(x).$

更一般地说，若$f:X\to ℝ$是拓扑空间$X$（如度量空间）上的函数，则$f$在开集$U$上的振荡为

${\omega }_f(U)=\underset{x\in U}{\sup }f(x)-\underset{x\in U}{\inf }f(x).$

函数在一点的振荡

实变函数$f$在$x_0$处的振荡定义为$f$在$x_0$的$ϵ$邻域上的振荡在$ϵ\to 0$时的极限：

${\omega }_f(x_0)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }{\omega }_f(x_0-ϵ,x_0+ϵ).$

这等同于函数在$x_0$处的上下极限之差，前提是$x_0$不被排除在极限之外。

更一般地说，若$f:X\to ℝ$是度量空间上的实值函数，则振荡为

${\omega }_f(x_0)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }{\omega }_f(B_{ϵ}(x_0)).$

示例

sin (1/x)（拓扑学家正弦曲线）在x = 0处的振荡为2，其他地方都是0。

• $\frac{1}{x}$在$x=0$处有无穷大的振荡，其他地方均为0。
• $\sin \frac{1}{x}$（拓扑学家正弦曲线）在$x=0$处的振荡为2，其他地方均为0。
• $\sin x$在所有有限的$x$处的振荡均为0，在−∞、+∞处为2。
• $(-1{)}^x$（1, -1, 1, -1, 1, -1...）的振荡为2。

最后一例的序列是周期的，而任何周期（非常值）序列的振荡必不是0。不过，非零振荡无法推出周期性。

从几何角度看，实数振荡函数的图形会沿着xy平面上的某条路径运行，而不会收敛到越来越小的区域。在良态情况下，路径可能看起来像一个循环，即周期性行为；在最糟糕的情况下，则是覆盖整个区域的非常不规则的运动。

连续性

振荡可以用来定义函数的连续性，并且很容易等价于通常的ε-δ定义（对于定义在实线各处的函数）：当且仅当振荡为0时，函数ƒ在x₀处连续；用符号表示为${\omega }_f(x_0)=0.$这个定义的好处在于量化了不连续性：振荡给出了函数在某点的不连续程度。

例如，在间断点的分类中有：

• 可去间断点的函数偏移值等于震荡；
• 跳跃间断点的函数跳跃值等于震荡（假设该点的值位于两侧极限之间）；
• 第二类间断点中，振荡衡量了极限不存在的程度。

描述集合论中，这个定义有助于研究间断点和连续点的集合：连续点是振荡小于ε的集合的交集（于是是G_δ集），并给出了勒贝格可积条件一个方向的快速证明。

通过简单的重排和极限（上极限和下极限）来定义振荡，可以等价于ε-δ定义：若（在某点）对给定的ε₀，没有能满足ε-δ条件的δ，则振荡大于等于ε₀；反之，若对每个ε都有能满足的δ，则振荡为0。振荡定义可以自然地推广到从拓扑空间到度量空间的映射。

推广

更一般地，设f : X → Y是拓扑空间X到度量空间Y的函数，则f的振荡可定义在每个x ∈ X：

$\omega (x)=\inf \{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(f(U))\mid U\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{f}x\}$

另见

• 波动函数
• 包络
• 格兰迪级数
• 有界平均振动

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