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在[[数学]]与[[数学物理]]中，给定流形 ''M'' 上一个[[张量]]，若在 ''M'' 已有一个非退化形式（比如[[黎曼度量]]或[[闵可夫斯基度量]]），我们可将指标上升或下降：将一个 <math>(k, l)</math> 张量变成一个 <math>(k+1, l-1)</math> 张量（上升）或一个 <math>(k-1, l+1)</math> 张量（下降）。 这里记号 <math>(k, l)</math> 用于表示[[张量的秩]] <math>k+l</math>，有 <math>k</math> 个上指标和 <math>l</math> 个下指标。

可以这样做：将张量乘以共变或反变[[度量张量]]，然后做[[张量缩并|缩并]]。下文在对重复指标 <math>j</math> 求和时使用[[爱因斯坦记号]]。

乘以反变度量张量（然后缩并）上升指标：

:<math>g^{ij}A_j=A^i,</math>

而乘以共变度量张量（然后缩并）下降指标：

:<math>g_{ij}A^j=A_i,</math>

对同一个指标先上升然后下降（或顺序相反）得到原来的张量，这反应了共变度量张量与反变度量张量互逆：

:<math>g^{ij}g_{ji}=g_{ij}g^{ji}=g_{i}^{i}=Tr g = N.</math>

这里 ''N'' 是流形的维数。注意下降一个指标不要求形式非奇异，但相反的过程需要非奇异条件。

== 广义相对论中的例子 ==
[[闵可夫斯基空间]]具有度量张量

::<math>g_{\mu \nu}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} </math>

[[共变]][[电磁张量]]由下式给出

::<math>F^{\mu\nu} = \begin{bmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{bmatrix}
</math> 
::注意：一些教材，比如 Griffiths<ref>
{{cite book | author=Griffiths, David J. | authorlink = David J. Griffiths |  title=Introduction to Elementary Particles | url=https://archive.org/details/introductiontoel0000grif_o7r4 | publisher=Wiley, John & Sons, Inc | year=1987 | id=ISBN 0-471-60386-4}}</ref>，可能有一个因子 -1。这是因为他们使用了度量张量与此处差一个符号，参见[[度量符号]]。老教材比如 Jackson 2ed 没有因子 c；他们使用[[高斯单位]]，这里使用[[国际单位制]]。

为了得到[[共变]]张量 <math>F_{\mu\nu}\,</math>，我们用

::<math>F_{\mu\nu} = g_{\mu\kappa} g_{\nu\lambda} F^{\kappa\lambda}\,</math>

注意因为 <math>g_{\mu\nu}\,</math> 是对角的，上式中许多项其实没有：

::<math>F_{\mu\nu} = g_{\mu\mu} g_{\nu\nu} F^{\mu\nu}\,</math>

对指标 1、2、3 使用拉丁字母：

::<math>F_{ij} = g_{ii} g_{jj} F^{ij}=F^{ij}\,</math>

因为度量张量中的因子都是 -1。

::<math>F_{ii} = (g_{ii})^2 F^{ii}=F^{ii}\,</math>

::<math>F_{0i} = g_{00} g_{ii} F^{0i}=-F^{0i}\,</math>

类似

::<math>F_{i0}=-F^{i0}\,</math>

将它们放在一起，我们得到：

::<math>F_{\mu\nu} = \begin{bmatrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{bmatrix}
</math>

== 参考文献 ==

{{reflist}}

== 相关条目 ==
* [[爱因斯坦记号]]
* [[度量张量]]
* [[音乐同构]]

[[Category:张量]]