查看“︁指数积分”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = math
|1 = zh-hans:复;zh-hant:複;
}}
[[File:Exponential integral.svg|300px|right|thumb|E<sub>1</sub>函数（顶）和Ei函数（底）。]]
在[[数学]]中，'''指数积分'''是[[函数]]的一种，它不能表示为[[初等函数]]。

==定义==
对于实数''x''，指数积分Ei(''x'')可以定义为：

:<math> \mbox{Ei}(x)=\int_{-\infty}^x\frac{e^t}t\,\mathrm dt.\,</math>

其中<math>e^t</math>为[[指数函数]]。以上的定义可以用于正数''x''，但这个积分必须用[[柯西主值]]的概念来理解。

对于自变量是复数的情形，这个定义就变得模棱两可了<ref name="irene">{{cite book|last=Abramovitz|first=Milton|others=[[Abramowitz and Stegun]]|coauthors=Irene Stegun|title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|publisher=Dover|year=1964|location=New York|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands|isbn=0-486-61272-4|access-date=2008-08-27|archive-date=2010-10-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20101011204945/http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/|dead-url=no}}</ref>。为了避免歧义，我们使用以下的记法：

:<math> {\rm E}_1(z) = \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt,\qquad|{\rm Arg}(z)|<\pi.</math>

当自变量的实数部分为正时，可以转换为：

:<math>{\rm E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{e^{-tz}}{t}\,\mathrm dt,\qquad \Re(z) \ge 0.</math>

Ei与E<sub>1</sub>有以下关系：

:<math>{\rm Ei}(-x\pm {\rm i}0) = - {\rm E}_1(x) \mp {\rm i} \pi,\quad ~~~~~~~~(x>0)</math>

:<math>
-{\rm Ei}(x) = \frac{1}{2} {\rm E}_1(-x+{\rm i} 0) + \frac{1}{2} {\rm E}_1(-x-{\rm i} 0),
\qquad~~~~~~~~(x>0)~.</math>

<!--The extension of Ei to the complex plane may have cut at the negative values of argument.  Then, area of analyticity of function Ei is complementary to that of E<sub>1</sub>.-->

==性质==

===收敛级数===
指数积分可以用以下的收敛级数来表示：

:<math>\mbox{Ei}(x) = \gamma+\ln x+ 
  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k\; k!} \,, ~~~~~x>0</math>

:<math>E_1(z) =-\gamma-\ln z+ 
  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} z^k}{k\; k!} \,,~~~~~~~~ {\rm Re}(z)>0</math>

其中<math>~\gamma\approx 0.5772156649015328606...~</math>是[[歐拉-馬斯刻若尼常數|欧拉-马歇罗尼常数]]。这个级数在自变量为任何复数时都是收敛的，但Ei的定义则需要<math>~x\!>\!0~</math>。

===渐近（发散）级数===
[[File:AsymptoticExpansionE1.png|right|200px|thumb|截断和中取<math>~N~</math>项时，渐近展开式的相对误差]]
自变量的值较大时，用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下，我们可以使用发散（或渐近）级数：
:<math>
E_1(z)=\frac{\exp(-z)}{z} \left[
\sum_{n=0}^{N-1} \frac{n!}{(-z)^n} + 
{\mathcal{O}}\left( \frac{N!}{z^N} \right)
\right]
</math>
这个截断和可以用来计算<math>~{\rm Re }(z)\!\gg\! 1~</math>时函数的值。级数中的项数越多，自变量的实数部分就应该越大。 

图中描述了以上估计的相对误差。

===指数和对数的表现 ===
[[File:BracketingE1.png|right|200px|thumb|]]
<math>~ E_1~</math>在自变量较大时的表现类似指数函数，自变量较小时类似对数函数。<math>~E_1~</math>是位于以下两个函数之间的：
:<math>
\frac{\exp(-x)}{2}\!~\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right)
<E_1(x)<
\exp(-x)\!~\ln\!\left(1+\frac{1}{x} \right)
~~~~~~~~x\!>\!0</math>
这个不等式的左端在图中用蓝色曲线来表示，中间的黑色曲线是<math>~{\rm E}_1(x)~</math>，不等式的右端用红色曲线来表示。

===与其它函数的关系===
指数积分与[[对数积分]]li(''x'')有密切的关系：

:li(''x'') = Ei (ln (''x'')) &nbsp;&nbsp; 对于所有正实数''x'' &ne; 1。

另外一个有密切关系的函数，具有不同的积分限：

:<math>{\rm E}_1(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-tx}}{t}\,\mathrm dt = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt.</math>

这个函数可以视为把指数积分延伸到负数：

: <math>{\rm Ei}(-x) = - {\rm E}_1(x).\,</math>

我们可以把两个函数都用[[整函数]]来表示：

:<math>{\rm Ein}(x) = \int_0^x (1-e^{-t})\,\frac{\mathrm dt}{t}
= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k\; k!}.</math>

利用这个函数，我们可以用对数来定义：

:<math>{\rm E}_1(z) \,=\, -\gamma-\ln z + {\rm Ein}(z),~~~~~~|{\rm Arg}(z)|<\pi~</math>

以及

:<math>{\rm Ei}(x) \,=\, \gamma+\ln x - {\rm Ein}(-x),~~~~~~x>0.</math>

指数积分还可以推广为：

:<math>{\rm E}_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n}\,\mathrm dt,</math>

它是[[不完全伽玛函数]]的一个特例：

: <math>{\rm E}_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x).\,</math>

这个推广的形式有时成为[[Misra函数]]<math>\varphi_m(x)</math>，定义为：

:<math>\varphi_m(x)={\rm E}_{-m}(x).\,</math>

===[[導數]]===
函数<math>~{\rm E}_n~</math>与<math>~{\rm E}_1~</math>的导数有以下简单的关系：
:<math> {{\rm  E}_n} '(z){n-1}(z),~~~~~~~~(|{\rm Arg}(z)|<\pi,~~~ n>0) </math>
然而，这里假设了<math>~n~</math>是整数；复数<math>~n~</math>的推广还没有在文献中报导，虽然这种推广是有可能的。在 y=2<sup>x</sup>的圖形中，其導函數在任意x值所對應的y值為原函數的0.693倍。

===複數變數指數積分===
[[File:E1ofImaginaryArgument.png|right|200px|thumb|<math> {\rm E}_1( {\rm i}\!~ x) </math> versus <math>~x~</math>,
real part(black) and imaginary part (red).]]
从以下的表示法中

:<math>
{\rm E}_1(z) = \int_1^\infty
\frac
{\exp(-zt)}
{t}
\,{\rm d} t,
~~~~~~({\rm Re}(z) \ge 0)
</math>

可以看出指数积分与[[三角积分|正弦积分]]（Si）和[[三角积分|余弦积分]]（Ci）之间的关系：

:<math>
{\rm E}_1( {\rm i}\!~ x)=
-\frac{\pi}{2}
+{\rm Si}(x)-{\rm i}\cdot {\rm Ci}(x),~~~~~~~~~(x>0)
</math>

图中的黑色和红色曲线分别描述了<math>~{\rm E}_1(x)~</math>的实数和虚数部分。<!--The real part has logarithmic peculiarity at zero (As the Exponential integral of the real argument).

===Integrals with '''exponential integral'''===
== Applications ==
* Time-dependent [[heat transfer]]
* Nonequilibrium [[groundwater]] flow in the [[Aquifer test#Transient Theis solution|Theis solution]] (called a ''well function'')
* Radiative transfer in stellar atmospheres
* Radial Diffusivity Equation for transient or unsteady state flow with line sources and sinks-->

==参考文献==
{{reflist}}
*Press, William H. et al. Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York: 1989.
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. ''[[Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.'' New York: Dover, 1972. ''[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_227.htm (See Chapter 5)] {{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_227.htm |date=20100728061310 }}''

* R. D. Misra, Proc. Cambridge Phil. Soc. 36, 173 (1940)
*S.  Chandrasekhar, Radiative transfer, reprinted 1960, Dover

==外部链接==
*{{MathWorld|urlname=ExponentialIntegral|title=Exponential Integral}}
*{{MathWorld|urlname=En-Function|title=''En''-Function}}
* [http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/ExpIntegralEi/ Ei的公式和恒等式] {{Wayback|url=http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/ExpIntegralEi/ |date=20200919072414 }}

[[Category:指数]]
[[Category:特殊函数|S]]
[[Category:特殊超几何函数|S]]
[[Category:積分]]