查看“︁指数分布”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
|1=zh-hant:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數
|2=zh-cn:尺度参数;zh-tw:比例母數;zh-hant:尺度參數
|3= zh-hans:矩; zh-tw:動差;zh-hant:矩
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}}
{{機率分佈
|name       =指數分配
|type       =密度
|pdf_image  =[[File:Exponential distribution pdf.png|325px|机率密度函数]]
|cdf_image  =[[File:Exponential distribution cdf.png|325px|累積分配函數]]| 	 
  parameters =<math>\lambda > 0 \,</math> 率
|support    =<math>x \in [0;\infty)\!</math>
|pdf        =<math>\,\lambda e^{-\lambda x}</math>
|cdf        =<math>1 - e^{-\lambda x}</math>
|mean       =<math>\lambda^{-1}\,</math>
|median     =<math>\ln(2)/\lambda\,</math>
|mode       =<math>0\,</math>
|variance   =<math>\lambda^{-2}\,</math>
|skewness   =<math>2\,</math>
|kurtosis   =<math>6\,</math>
|entropy    =<math>1 - \ln(\lambda)\,</math>
|mgf        =<math>\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,</math>
|char       =<math>\left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,</math> 
}}

在[[機率論]]和[[統計學]]中，'''指數分布'''（{{lang-en|Exponential distribution}}）是一種連續[[機率分佈]]。指數分布可以用来建模平均发生率恒定、连续、独立的事件發生的間隔，比如旅客進入機場的時間間隔、電話打進客服中心的時間間隔、中文[[维基百科|維基百科]]新條目出現的時間間隔、機器的壽命等。

== 記號 ==
指數分布即形狀[[母數]]α為1的[[伽玛分布|伽瑪分布]]。

若隨機變數<math>X</math>服从母數為<math>\lambda</math>或<math>\beta</math>的指数分布，則記作

<math>X\sim \text{Exp}(\lambda )</math>
或 <math>X\sim \text{Exp}(\beta )</math>

兩者意義相同，只是<math>\lambda </math>與<math>\beta </math>互為倒數關係。只要將以下式子做<math>{\color{Red}\lambda =\frac{1}{\beta}}</math>的替換即可，即，指數分布之[[機率密度函數]]為：

:<math>
f(x;{\color{Red}\lambda}) = \left\{\begin{matrix}
{\color{Red}\lambda}  e^{-{\color{Red}\lambda} x} & x \ge 0, \\
0 &,\; x < 0.
\end{matrix}\right.</math>

或

:<math>
f(x;{\color{Red}\beta}) = \left\{\begin{matrix}
{\color{Red}\frac{1}{\beta}}  e^{-{\color{Red}\frac{1}{\beta}} x} & x \ge 0, \\
0 &,\; x < 0.
\end{matrix}\right.</math>


[[累积分布函数]]為：
:<math>
F(x;{\color{Red}\lambda}) = \left\{\begin{matrix}
1-e^{-\color{Red}{\lambda} x}&,\; x \ge 0, \\
0 &,\; x < 0.
\end{matrix}\right.</math>

或

:<math>
F(x;{\color{Red}\beta}) = \left\{\begin{matrix}
1-e^{-{\color{Red}\frac{1}{\beta}} x}&,\; x \ge 0, \\
0 &,\; x < 0.
\end{matrix}\right.</math>


其中<math>\lambda>0</math>是分布的母數，即每单位时间发生该事件的次数；<math>\beta</math>為比例母數，即該事件在每單位時間內的發生率。兩者常被称为率参数（rate parameter）。指数分布的区间是<nowiki>[0,</nowiki>∞)。

== 特性 ==

=== 期望值与變異數 ===
[[随机变量]]''X'' (''X'' 的[[母數]]為λ或β) 的[[期望值]]是：

:<math>\mathbf{E}(X) = \frac{1}{\color{Red}{\lambda}}={\color{Red}\beta}</math> 

例如：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。

''X'' 的[[方差]]是：

:<math>\mathbf{Var}(X) = \frac{1}{\color{Red}{\lambda^2}}={\color{Red}\beta^2}</math>

''X'' 的[[偏度|偏態系数]]是：
'''V'''[X] = 1

=== 无记忆性 ===
指数函数的一个重要特征是无记忆性（'''Memoryless Property，又稱遺失記憶性'''）。这表示如果一个[[随机变量]]呈指数分布，它的条件概率遵循：

:<math>P(T > s + t\; |\; T > t) = P(T > s) \;\; \hbox{for all}\ s, t \ge 0. </math>
=== 与泊松过程的关系===
[[泊松過程]]是一种重要的随机过程。泊松過程中，第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松過程的定义，长度为t的时间段内没有随机事件出现的概率等于
:<math>\frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^0}{0!} = e^{-\lambda t}</math>, 
长度为t的时间段内随机事件发生一次的概率等于
<math>\frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^1}{1!}=e^{-\lambda t} \lambda t</math>,
所以第k次随机事件之后长度为t的时间段内，第k+n次 (n=1, 2, 3,...)随机事件出现的概率等于<math>1-e^{-\lambda t}</math>。这是指数分布。这还表明了泊松过程的无记忆性。

=== 四分位数 ===
率参数λ的[[四分位数]]函数（Quartile function）是：

:<math>F^{-1}(p;\lambda) = \frac{-\ln(1-p)}{\lambda},\qquad 0 \le p < 1</math>

* 第一四分位数：<math>\ln(4/3)/\lambda\,</math>
* [[中位數|中位数]]：<math>\ln(2)/\lambda\,</math>
* 第三四分位数：<math>\ln(4)/\lambda\,</math>

因此，[[四分位距]]為ln(3)/''λ''。

== 参数估计 ==
=== 最大概似法 ===
给定[[独立同分布]]样本''x'' = (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)，λ的[[似然函数]]（Likelihood function）是：

:<math> L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \lambda \, \exp(-\lambda x_i) = \lambda^n \, \exp\!\left(\!-\lambda \sum_{i=1}^n x_i\right)=\lambda^n\exp\left(-\lambda n \overline{x}\right) </math>

其中：
:<math>\overline{x}={1 \over n}\sum_{i=1}^n x_i</math>是样本期望値。

似然函数[[对数]]的[[导数]]是：

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} \left( n \ln(\lambda) - \lambda n\overline{x} \right) = {n \over \lambda}-n\overline{x}\ \left\{\begin{matrix} > 0 & \mbox{if}\ 0 < \lambda < 1/\overline{x}, \\  \\ = 0 & \mbox{if}\ \lambda = 1/\overline{x}, \\  \\ < 0 & \mbox{if}\ \lambda > 1/\overline{x}. \end{matrix}\right. </math>

参数λ的[[最大似然估计|最大概似估計]]（Maximum likelihood）值是：
:<math>\widehat{\lambda} = \frac1{\overline{x}}</math>

==參見==
*[[拉普拉斯分布]]（又稱：雙指數分布）
*[[幾何分布]]

== 参考文獻 ==
# Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. pp. 133
# Luc Devroye (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. pp. 392–401

==外部連結==
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/ex.php?language=zh 指数分布] {{Wayback|url=http://www.elektro-energetika.cz/calculations/ex.php?language=zh |date=20201025110149 }}

{{-}}
{{概率分布类型列表|指数分布}}

[[Category:连续分布]]
[[Category:指数]]