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'''拿破仑定理'''是[[拿破仑]]发现的平面[[几何学|几何]][[定理]]：“以[[任意三角形]]各边为边分别向外侧作[[正三角形]]，则它们的中心(三心)連線必构成一个[[正三角形]]。”該[[正三角形]]稱為'''拿破仑三角形'''。如果向内作[[三角形]]结论同样成立。

==证明==
[[File:Napoleon's theorem.svg|thumb|证明段落配图]]
为外侧任意两个[[正三角形]]作[[外接圆]]，其两圆有2个交点，其中一个交点为中间[[三角形]]的[[頂點 (幾何)|顶点]]，设另外一个[[交點|交点]]为<math>O</math>，并连接<math>O</math>与中间[[三角形]]的另外两个[[頂點 (幾何)|顶点]]，因为<math>O</math>在两圆上，所以<math>\angle AOB=\angle AOC=\angle COB=120^\circ</math>

因为中间[[正三角形]]的[[頂點 (幾何)|顶点]]在[[圓心|圆心]]上，且<math>AO</math>、<math>BO</math>、<math>CO</math>是外[[正三角形]][[外接圓|外接圆]][[交點|交点]]的连线，所以<math>OA</math>⊥<math>MN</math>、<math>OB</math>⊥<math>NL</math>、<math>OC</math>⊥<math>ML</math>

因为<math>\angle ACO+\angle CAO=60^\circ</math>，<math>\angle CAO+\angle AMN=\angle ACO+\angle CML=60^\circ</math>，所以<math>\angle AMN+\angle CML=60^\circ</math>，所以<math>\angle NML=60^\circ</math>，其余二角同理。

==基本性质==
这一定理可以等价描述为：若以[[任意三角形]]的各边为底边向形外作底角为30°的[[等腰三角形]]，则它们的顶点构成一个[[等边三角形|正三角形]]。<br />
本圖形具備下列特徵:<br />
*線段<math>\overline{AX}=\overline{BY}=\overline{CZ}</math>，且該三線段交於一點，該點到ABC三點距離之和等於<math>\overline{AX}</math>（或<math>\overline{BY}</math>、<math>\overline{CZ}</math>）。<br />
*<math>\overline{AX}</math>與<math>\overline{MN}</math>、<math>\overline{BY}</math>與<math>\overline{NL}</math>、<math>\overline{CZ}</math>與<math>\overline{ML}</math>互相垂直。<br />
*<math>\triangle ACY , \triangle BCX , \triangle ABZ</math>之外接圓相交於一點，該點即線段<math>\overline{AX}, \overline{BY}, \overline{CZ}</math>之交點。<br />

==參見==
* [[四邊形]]上，類似的定理為[[凡·奧貝爾定理]]。
* 拿破仑定理本身為[[佩特諾-伊曼-道格拉斯定理]]的特例。
* 内拿破侖三角形的面积大于等于 0 给出[[外森比克不等式]]。
*[[西姆松定理]]
*[[九点圆]]

==外部連結==
*[http://agutie.homestead.com/files/Napoleon0.htm 拿破崙三角形的證明] {{Wayback|url=http://agutie.homestead.com/files/Napoleon0.htm |date=20200119205358 }}：利用圖解的方式，一步一步說明拿破崙三角形的原理{{en}}。

[[Category:三角形几何]]
[[Category:几何定理|Napoleon]]