查看“︁招差术”︁的源代码

'''招差术'''是中国古代数学中的[[多項式插值]]。[[秦九韶]]称为“招法”，“招差”一词为元代数学家、历法家[[王恂 (元朝)|王恂]]首创。元代数学家[[朱世杰]]在《[[四元玉鉴]]》多次使用招差术。卷中《如像招数》第五问给出世界上最早的四次内插公式<ref name="k">孔国平 439-444</ref>。

==秦九韶招法==
秦九韶在《[[数书九章]]》中多次使用二次插值法。

《数书九章》卷十三 《计造石坝》
{{quote|术曰：以商工求之，以招法入之}}

《数书九章》卷三 《缀术推星》也使用自变数不等间二次内插法（招差）。<ref name="Li">李俨 350-356</ref>。

==郭守敬王恂招差术==
郭守敬和王恂在《[[授时历]]》中大量使用三次内插法，他称为“招差”<ref "name="wu">吴文俊 169 页</ref>。王恂推广隋唐时代二次内插法（'''[[盈不足术]]'''）为三次内插法（'''招差术'''），用以计算太阳盈缩，太阴迟疾的[[差分]]，定差，平差，立差，并归纳出平立定三差计算公式。

{{quote|視入歷盈者，在盈初縮末限已下，為初限，已上，反減半歲周，余為末限；縮者，在縮初盈末限已下，為初限，已上，反減半歲周，余為末限。其盈初縮末者，置立差三十一，以初末限乘之，加平差二萬四千六百，又以初末限乘之，用減定差五百一十三萬三千二百，余再以初末限乘之，滿億為度，不滿退除為分秒。縮初盈末者，置立差二十七，以初末限乘之，加平差二萬二千一百，又以初末限乘之，用減定差四百八十七萬六百，余再以初末限乘之，滿億為度，不滿退除為分秒，即所求盈縮差。<ref>[[元史]] 卷54 志第6　曆三</ref>}}

* 令 a 代表定差
* 令 b 代表平差 
* 令 c 代表立差
* 令 k 代表初末限

::: 盈缩差=<math>ak-bk^2-ck^3</math><ref name="L">李俨 369-370</ref>。

==朱世杰招差术==
[[朱世杰]]《[[四元玉鉴]]》多次使用招差术。卷中《如像招数》第五问给出世界上最早的四次内插公式<ref name="k"/>：
{{quote|今有官司依立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，得数为兵，今招一十五方，每人日支钱二百五十文，问兵及支钱各几何。或问还原：依立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，得数为兵。今招一十五日，每人日支钱二百五十文，问招兵及支钱几何？<br>答曰：兵二万三千四百人，钱二万三千四百六十二贯。<br>术曰求得上差二十七，二差三十七，三差二十四，下差六<br>求兵者，今招为上积，又今招减一为茭草底子积为二积，又今招减二为三角底子积，又今招减三为三角一积为下积。以各差乘各积，四位并之，即招兵数也。}}<ref name="zu">朱世杰 113页></ref>

先求出上差（一次差），二差（二次差），三差（三次差）和下差（四次差），然后求出答案，是四次插值法（'''招差术'''）的运用<ref name="L3">李俨 《中国算法对内插法定应用》375-382</ref>

{| border="0" width="600" align="center" style="border: 5px solid #999; background-color: #FFFFFF;"
|- align="center" bgcolor="#CCCCCC"
! 日数
! 支錢累計數
! 每日支錢
! 招兵累计数
! 上差（每日招兵数）
! 二差
! 三差
! 下差
|- align="center"
| 1
| 6.75
| 6.75
| 27
| 27
| 
| 
| 
|-align="center" bgcolor="#EFEFEF"
| 2
| 29.5
| 22.75
| 91
| 64
| 37
| 
| 
|-align="center"
| 3
| 83.5
| 54
| 216
| 125
| 61
| 24
| 
|-align="center" bgcolor="#EFEFEF"
| 4
| 191.5
| 108
| 432
| 216
| 91
| 30
| 6
|-align="center"
| 5
| 385.25
| 193.75
| 775
| 343
| 127
| 36
| 6
|}


招兵累计数=

<math>n*a+\frac{1}{2*1}*n*(n-1)*b+\frac{1}{3*2*1}*n*(n-1)*(n-2)*c</math>

<math>+\frac{1}{4*3*2*1}n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*d</math><ref name="K2">孔国平 440-441</ref>。

其中
* a=上差
* b=二差
* c=三差
* d=下差

==梅文鼎==
清代数学家[[梅文鼎]]著有《平立定三差详说》，详解《授时历》的平定立三差法。<ref name="LQ">李俨.钱宝琮383 385页</ref>

== 参考文献 ==
=== 引用 ===
{{Reflist|2}}

=== 来源 ===
;书籍
* {{cite book |title=《李俨.钱宝琮科学史全集》卷二 |chapter = 《中算家电的内插法研究》 |author=李俨 |publisher=辽宁教育出版社 |year=1998 |ISBN = 978-7-538-24807-4}}
* {{cite book |title=《李冶朱世杰与金元数学》 |author=孔国平 |publisher=河北科学技术出版社 |date=2000 |ISBN = 978-7-537-51884-0}}
* {{cite book |title=《四元玉鉴校证》|author=朱世杰 |others = 李兆华 校证 |publisher=科学出版社 |year=2007 |ISBN = 978-7-030-20112-6}}
* {{cite book |editor = 吴文俊 主编 |title = 《中国数学史大系》 第六卷 第四编 |chapter = 朱世杰的数学成就 |pages = 206-280 |ISBN = 7-303-04927-4/O}}

{{-}}
{{中国数学史}}

[[Category:中國古代數學]]