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在[[拓撲學]]和其相關的[[數學]]領域裡，'''拓撲比較'''是指在同一個給定的集合上的兩個[[拓撲結構]]之間的關係。在一給定的集合上的所有拓撲會形成一個[[偏序集合]]。此一[[序理論|序關係]]可以用來做不同拓撲之間的比較。

== 定義 ==
{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement=
<math>\mathfrak{T}_1</math> 和 '''<math>\mathfrak{T}_2</math>''' 都是 <math>X</math> 的拓扑，若 <math>\mathfrak{T}_1 \subseteq \mathfrak{T}_2</math>  称 <math>\mathfrak{T}_2</math> 比 <math>\mathfrak{T}_1</math>更'''细'''（fine）或更'''強'''（strong），或称 <math>\mathfrak{T}_1</math> 比 <math>\mathfrak{T}_2</math>更'''粗'''（coarse）或更'''弱'''（weak）。

進一步的，若 <math>\mathfrak{T}_1 \subset \mathfrak{T}_2 </math> ，称 <math>\mathfrak{T}_2</math> 比 <math>\mathfrak{T}_1</math>'''嚴格细'''（strictly fine），或称 <math>\mathfrak{T}_1</math> 比 <math>\mathfrak{T}_2</math>'''嚴格粗'''（strictly coarse）。<ref name="Munkres" />
}}

直觀上，<math>\mathfrak{T}_2</math> 有更多甚至是「更小」的鄰域去逼近拓撲空間中的一點，所以相較之下，其拓撲結構比較「細緻」。但在 <math>\mathfrak{T}_2</math> 意義下定義的 「極限」要求在更多的鄰域都要能找到逼近點，所以其拓撲結構在收斂的意義下比較「強」。至於'''嚴格'''細或粗，就是額外要求 <math>\mathfrak{T}_1 \neq \mathfrak{T}_2  </math> 。

[[二元关系|二元關係]] <math>\subseteq</math> 在 ''<math>X</math>'' 所有的拓撲所組成的集合上定義了一個[[偏序集合]]。

=== 例子 ===
<math>X</math> 的拓扑裡，最粗的是由空集和全集两个元素构成的：

: <math>\mathfrak{T}
=
\{X,\,\varnothing\}</math>

而最细的拓扑是'''离散拓扑'''（discrete topology），也就是<math>X</math> 的[[冪集]]：

: <math>\mathfrak{T}_D = \mathcal{P}(X) </math>

== 最粗拓撲 ==
{{Math theorem
| math_statement = 設 <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> 是 <math>X</math> 的一個[[子集族]]，則：

: <math>\tau_\mathcal{F}
= \bigcap \bigg\{ \mathfrak{T}
\,\bigg|\,
    (\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge
    (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})
\bigg\} </math>

也是 <math>X</math> 的[[拓扑空间#开集系|拓扑]]。
}}
{{Math proof|
根據定理的條件，對所有[[集合 (数学)|集合]] <math> A </math> 有：

: <math>O \in \tau_\mathcal{F}
\Leftrightarrow
(\forall \mathfrak{T})
\left\{
    [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X)
    \wedge
    (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,]
    \Rightarrow
    (O \in \mathfrak{T})
\right\}    </math> (a)

以下將逐條檢驗[[拓扑空间#开集系|拓扑]]的定義，來驗證 <math>\tau_\mathcal{F}    </math> 的確是<math>X</math> 的[[拓扑空间#开集系|拓扑]]：

(1) <math>X,\,\varnothing \in \tau_\mathcal{F}      </math>

若 <math>\mathfrak{T}      </math> 的確是 <math>X</math> 的[[拓扑空间#开集系|拓扑]]，那由[[拓扑空间#开集系|拓扑]]的定義可以得到 <math>X,\,\varnothing \in \mathfrak{T}      </math> ，這樣從式(a)右方就可以得到 <math>X,\,\varnothing \in \tau_\mathcal{F}      </math> 。

(2) <math>U,\,V \in \tau_\mathcal{F}      </math> 則 <math>U \cap V \in \tau_\mathcal{F}      </math> 

若 <math>U,\,V \in \tau_\mathcal{F}      </math> ，從式(a)左方有：

: <math>(\forall \mathfrak{T})
\left\{
    [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X)
    \wedge
    (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,]
    \Rightarrow
    (U \in \mathfrak{T})
\right\}    </math> 
: <math>(\forall \mathfrak{T})
\left\{
    [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X)
    \wedge
    (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,]
    \Rightarrow
    (V \in \mathfrak{T})
\right\}    </math>

所以有：

: <math>(\forall \mathfrak{T})
\left\{
    [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X)
    \wedge
    (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,]
    \Rightarrow
    (U,\,V \in \mathfrak{T})
\right\}    </math> 

所以根據[[拓扑空间#开集系|拓扑]]的定義有：

: <math>(\forall \mathfrak{T})
\left\{
    [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X)
    \wedge
    (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,]
    \Rightarrow
    (U \cap V \in \mathfrak{T})
\right\}    </math> 

這樣從式(a)右方就可以得到 <math>U \cap V \in \tau_\mathcal{F}      </math> 。

(3) <math>\mathcal{G} \subseteq \tau_\mathcal{F}      </math> 則 <math>\bigcup\mathcal{G} \in \tau_\mathcal{F}       </math> 

若 <math>\mathcal{G} \subseteq \tau_\mathcal{F}      </math> ，那對任意 <math>g \in \mathcal{G}       </math> ，從式(a)左方有：

: <math>(\forall \mathfrak{T})
\left\{
    [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X)
    \wedge
    (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,]
    \Rightarrow
    (g \in \mathfrak{T})
\right\}    </math> 

所以有：

: <math>(\forall \mathfrak{T})
\left\{
    [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X)
    \wedge
    (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,]
    \Rightarrow
    (\mathcal{G} \subseteq \mathfrak{T})
\right\}      </math> 

所以根據[[拓扑空间#开集系|拓扑]]的定義有：

: <math>(\forall \mathfrak{T})
\left\{
    [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X)
    \wedge
    (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,]
    \Rightarrow
    (\bigcup\mathcal{G} \in \mathfrak{T})
\right\}      </math> 

所以從式(a)右方可以得到 <math>\bigcup\mathcal{G} \in \tau_\mathcal{F}       </math> 。

綜上所述，來驗證 <math>\tau_\mathcal{F}    </math> 的確是 <math>X</math> 的[[拓扑空间#开集系|拓扑]]。<math>\Box</math>
}}根據以上的定理，可以做以下的定義：

{{math_theorem
| name = 定義
| math_statement = <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> 是 <math>X</math> 的一個[[子集族]]，則：

: <math>\tau_\mathcal{F}
= \bigcap \bigg\{ \mathfrak{T}
\,\bigg|\,
    (\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge
    (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})
\bigg\} </math>

稱為包含 <math>\mathcal{F}</math> 的'''最粗拓撲'''（或'''最弱拓撲'''）。
}}




== 另見 ==

* [[初拓撲]]－可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中，最粗糙的拓撲。
* [[終拓撲]]－可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中，最精細的拓撲。

== 參考資料 ==
{{Reflist|refs=
<ref name="Munkres">
{{cite book | last = Munkres | first = James R. | authorlink = James Munkres
  | title = Topology | url = https://archive.org/details/topology00jrmu | edition = 2nd
  | publisher = [[普林帝斯霍爾|Prentice Hall]] | location = Upper Saddle River, NJ | year = 2000
  | isbn = 0-13-181629-2
  | pages = [https://archive.org/details/topology00jrmu/page/n92 77]–78 }}
</ref>
}}

{{點集拓撲}}

[[Category:点集拓扑学]]
[[Category:不等|Topologies]]