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[[File:Parabolic_coords.svg|thumb|right|400px|拋物線坐標系的綠色的 <math>\sigma</math> 等值曲線和紅色的 <math>\tau</math> 等值曲線。横軸與縱軸分別為 x-軸與 y-軸。]]

'''拋物線坐標系'''（{{lang-en|Parabolic coordinates}}）是一種二維[[正交坐標系]]，兩個坐標的等值曲線都是共焦的[[拋物線]]。將二維的拋物線坐標系繞著[[拋物線]]的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系。

實際上，拋物線坐標可以應用在許多物理問題。例如，[[斯塔克效應]]（{{lang|en|Stark effect}}），物體邊緣的[[位勢論]]，以及[[拉普拉斯-龍格-冷次向量]]的[[保守力|保守性]]。

==二維拋物線坐標系==
直角坐標 <math>(x,\ y)</math> 可以用二維拋物線坐標 <math>(\sigma,\ \tau)</math> 表示為
:<math>x = \pm\,\sigma \tau</math> 、
:<math>y = \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right)</math> ；

其中，<math>\sigma\ge 0</math> ，<math>\tau\ge 0</math> 。

反算回來，二維拋物線坐標 <math>(\sigma,\ \tau)</math> 可以用直角坐標 <math>(x,\ y)</math> 表示為
:<math>\sigma=\sqrt{ - y +\sqrt{x^2+y^2}}</math> 、
:<math>\tau=\sqrt{y +\sqrt{x^2+y^2}}</math> 。

坐標 <math>\sigma</math> 為常數的曲線形成共焦的，[[凸集|凹性]]向上的（往 +y-軸）[[拋物線]]：
:<math>2y = \frac{x^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}</math> ，

而坐標 <math>\tau</math>  為常數的曲線形成共焦的，[[凸集|凹性]]向下的（往 -y-軸）[[拋物線]]：
:<math>2y = - \frac{x^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}</math> 。

這些拋物線的焦點的位置都在原點。

==二維標度因子==

拋物線坐標 <math>(\sigma,\ \tau)</math> 的標度因子相等：
:<math>h_{\sigma} = h_{\tau} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}</math> 。

因此，面積的無窮小元素是
:<math>dA = \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau</math> 。

[[拉普拉斯算子]]是
:<math>\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left(  \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} + 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}} \right)</math> 。

其它微分算子，像 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> ， <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> ，都可以用 <math>(\sigma,\ \tau)</math> 坐標表示，只要將標度因子代入在[[正交坐標系]]條目內的一般公式。

==三維拋物線坐標系==
[[File:Parabolic_coordinates_3D.png|thumb|right|200px|三維拋物線坐標的[[坐標曲面]]。紅色的拋物曲面的坐標 <math>\tau=2</math> 。藍色的拋物曲面的坐標 <math>\sigma=1</math> 。黃色的半平面的坐標 <math>\phi= - 60^\circ</math> 。三個面相交於點 <math>\mathbf{P}= (1.0, -1.732, 1.5)</math> （以黑色小球表示）。]]

將二維的拋物線坐標系繞著[[拋物線]]的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系，又稱為'''旋轉拋物線坐標系'''。將對稱軸與 z-軸排列成同直線；而拋物線坐標系的共焦點與直角坐標系的原點同地點。直角坐標 <math>(x,\ y,\ z)</math> 可以用三維拋物線坐標 <math>(\sigma,\ \tau,\ \phi)</math> 表示為
:<math>x=\sigma\tau\cos\phi</math> 、
:<math>y=\sigma\tau\sin\phi</math> 、
:<math>z=\frac{1}{2}\left(\tau^{2} - \sigma^{2}\right)</math> ；

其中，<math>\sigma\ge 0</math> ，<math>\tau\ge 0</math> ，方位角 <math>\phi</math> 定義為
:<math>\tan \phi = \frac{y}{x},\qquad 0\le \phi\le 2\pi</math> 。

反算回來，三維拋物線坐標 <math>(\sigma,\ \tau,\ \phi)</math> 可以用直角坐標 <math>(x,\ y,\ z)</math> 表示為
:<math>\sigma=\sqrt{ - z +\sqrt{x^2+y^2+z^2}}</math> 、
:<math>\tau=\sqrt{z +\sqrt{x^2+y^2+z^2}}</math> 、
:<math>\phi =\tan^{ - 1}\frac{y}{x}</math> 。

每一個 <math>\sigma</math>-坐標曲面都是共焦的，凹性向上的（往 +z-軸）'''拋物曲面'''：

:<math>2z = \frac{x^{2} + y^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}</math> ，

而每一個 <math>\tau</math>>-坐標曲面都是共焦的，凹性向下的（往 -z-軸）'''拋物曲面'''：
:<math>2z = - \frac{x^{2} + y^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}</math> 。

這些拋物曲面的焦點的位置都在原點。

==三維標度因子==
三維標度因子為：
:<math>h_{\sigma} = \sqrt{\sigma^2+\tau^2}</math> 、
:<math>h_{\tau}   = \sqrt{\sigma^2+\tau^2}</math> 、
:<math>h_{\phi} = \sigma\tau\,</math> 。

我們可以觀察出，標度因子 <math>h_{\sigma}</math> ， <math>h_{\tau}</math> 與二維標度因子相同。因此，體積的無窮小元素是
:<math>dV = h_\sigma h_\tau h_\phi = \sigma\tau \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)\,d\sigma\,d\tau\,d\phi</math> 。

[[拉普拉斯算子]]是
:<math>\nabla^2 \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}\left[
\frac{1}{\sigma} \frac{\partial}{\partial \sigma} 
\left( \sigma \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right) +
\frac{1}{\tau} \frac{\partial}{\partial \tau} 
\left( \tau \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right)\right] +
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2}
</math> 。

其它微分算子，像 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> ， <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> ，都可以用 <math>(\sigma,\ \tau,\ \phi)</math> 坐標表示，只要將標度因子代入在[[正交坐標系]] 條目內的一般公式。

==第二種表述==
另外還有一種拋物線坐標系的表述，專門用於[[哈密頓-亞可比方程式]]。假若使用此種表述的公式，則哈密頓-亞可比方程式可以很容易的分解出來。應用此方法，可以導引出[[拉普拉斯-龍格-冷次向量#哈密頓-雅可比方程式|拉普拉斯-龍格-冷次向量]]的恆定性．

採用下述從拋物線坐標變換至直角坐標的公式：
:<math> \eta ={ - z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}}</math> 、
:<math> \xi ={z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}}</math> 、
:<math> \phi =\arctan {y \over x}</math> 。

假若 <math>\phi=0</math> ，則可得到一片截面；其坐標被限制於 <math>x\ge 0</math> 的 +xz-半平面：
:<math> \eta = - z + \sqrt{ x^2 + z^2}</math> 、
:<math> \xi =z + \sqrt{ x^2 + z^2}</math> 。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 <math>\eta</math> 是一個常數，<math>\eta=c</math> ，則
:<math> \left. z \right|_{\eta = c} = {x^2 \over 2 c} - {c \over 2}</math> 。

這是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向上。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 <math>\xi</math> 是一個常數，<math>\xi=b</math> ，則
:<math> \left. z \right|_{\xi = b} = {b \over 2} - {x^2 \over 2 b}</math> 。

這也是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向下。

思考任何一條向上的拋物線 <math>\eta=c</math> 與任何一條向下的拋物線 <math>\xi=b</math> ，我們想要求得兩條曲線的相交點：
:<math> {x^2 \over 2 c} - {c \over 2} = {b \over 2} - {x^2 \over 2 b}</math> 。

稍微計算，可得
:<math>x=\sqrt{bc}</math> 。

將相交點的横坐標 <math>x</math> 代入向上的拋物線的公式，
:<math>z_c= {bc\over 2 c} - {c \over 2} = {b - c \over 2}</math> 。

所以，相交點 P 坐標為 <math>\left(\sqrt{bc},\ {b - c \over 2}\right)</math> 。

思考正切這兩條拋物線於點 P 的一對切線。向上的拋物線的切線的斜率為
:<math>\frac{dz_c}{dx}=\frac{x}{c}=\sqrt{\frac{b}{c}}=s_c</math> 。

向下的拋物線的切線的斜率為
:<math>{dz_b\over dx}= - {x \over b}= - \sqrt{c\over b}= s_b</math> 。

兩個斜率的乘積為
:<math>s_c s_b= - 1</math> 。

所以，兩條切線相垂直。對於任何兩條凹性相反的拋物線，都會有同樣的結果。
 
假設 <math>\phi\ne 0</math> 。讓 <math>\phi</math> 值從 <math>0</math> 緩慢增值，這半平面會相應地繞著 z-軸按照[[右手定則]]旋轉；拋物線坐標為常數的拋物線 形成了拋物曲面。一對相反的拋物曲面的相交 設定了一個圓圈。而 <math>\phi</math> 值設定的半平面，切過這圓圈於一個唯一點。這唯一點的直角坐標是<ref name="Menzel">{{cite book |last=Menzel|first=Donald H.|title=Mathematical Physics|url=https://archive.org/details/mathematicalphys0000menz|year=1961| location=United States of America | publisher=Dover Publications| isbn=978-0486600567 | language=en| pages=pp. 139}}</ref>：
:<math> x = \sqrt{\eta\xi}\ \cos \phi</math> 、
:<math> y = \sqrt{\eta\xi}\ \sin \phi</math> 、
:<math> z =\frac{1}{2}(\xi - \eta)</math> 。

{{正交坐標系}}

==參考文獻==
* {{cite book | author = Morse PM, Feshbach H | date = 1953 | title = Methods of Theoretical Physics, Part I | publisher = McGraw-Hill | location = New York | id = ISBN 0-07-043316-X| pages = p. 660}}

* {{cite book | author = Margenau H, Murphy GM | year = 1956 | title = The Mathematics of Physics and Chemistry | publisher = D. van Nostrand | location = New York | pages = pp. 185–186 }}

* {{cite book | author = Korn GA, Korn TM |date = 1961 | title = Mathematical Handbook for Scientists and Engineers | publisher = McGraw-Hill | location = New York | pages = p. 180}}

* {{cite book | author = Sauer R, Szabó I | date = 1967 | title = Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs | publisher = Springer Verlag | location = New York |  pages = p. 96}}  

* {{cite book | author = Zwillinger D | date = 1992 | title = Handbook of Integration | publisher = Jones and Bartlett | location = Boston, MA | isbn = 0-86720-293-9 | pages = p. 114}} 

* {{cite book | author = Moon P, Spencer DE | date = 1988 | chapter = Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ) | title = Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions | edition = corrected 2nd ed., 3rd print ed. | publisher = Springer-Verlag | location = New York | pages = pp. 34–36 (Table 1.08) | isbn = 978-0387184302}}

{{reflist|2}}

[[Category:坐標系|P]]