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[[File:Parabolic_cylindrical_coordinates.png|thumb|right|200px|拋物柱面坐標系的幾個坐標曲面。紅色拋物柱面的 <math>\sigma=2</math> 。黃色拋物柱面的 <math>\tau=1</math> 。藍色薄面的 <math>z=2</math> 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個曲面相交於點 P （顯示為黑色的圓球），[[直角坐標]]大約為 <math>(2,\  - 1.5,\ 2)</math> 。]]
[[File:Parabolic coords.svg|thumb|right|200px|拋物線坐標系的 <math>\sigma</math> 和 <math>\tau</math> 的等值曲線。横軸與縱軸分別為 x-軸與 y-軸。拋物線坐標系可以往 z-軸延伸。對於任意 z-坐標，這曲線圖都正確無誤。]]

'''拋物柱面坐標系'''（{{lang-en|Parabolic cylindrical coordinates}}）是一種三維[[正交坐標系]]。往 z-軸方向延伸二維的[[拋物線坐標系]] ，則可得到拋物柱面坐標系。其[[坐標曲面]]是共焦的拋物柱面。拋物柱面坐標可以應用於許多物理問題。例如，物體邊緣的[[位勢論]]。

==基本定義==
直角坐標 <math>(x,\ y,\ z)</math> 可以用拋物柱面坐標 <math>(\sigma,\ \tau,\ z)</math> 表示為
:<math>x = \sigma \tau</math> 、
:<math>y = \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right)</math> 、
:<math>z = z</math> ；

其中，<math>\sigma\ge 0</math> ，<math>\tau\ge 0</math> 。

坐標 <math>\sigma</math> 為常數的曲線形成共焦的，[[凸集|凹性]]往 +y-軸的[[拋物線|拋物柱面]]：
:<math>2y = \frac{x^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}</math> ，

而坐標 <math>\tau</math>  為常數的曲線形成共焦的，[[凸集|凹性]]往 -y-軸的[[拋物線|拋物柱面]]：
:<math>2y = - \frac{x^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}</math> 。

這些拋物柱面的焦線的位置都在 z-軸。

徑向距 <math>r</math> 的公式為
:<math>r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{2} \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)
</math>。

當解析[[經典力學]]的[[反平方定律|反平方]][[連心力]]問題時，假若採用拋物柱面坐標的[[哈密頓-亞可比方程式]]，則會用到這很有用的公式。參閱[[拉普拉斯-龍格-冷次向量#克卜勒問題 LRL 向量恆定的證明#哈密頓-亞可比方程式|
拉普拉斯-龍格-冷次向量]]{{Broken anchor|date=2024-05-23|bot=User:Cewbot/log/20201008/configuration|target_link=拉普拉斯-龍格-冷次向量#克卜勒問題 LRL 向量恆定的證明#哈密頓-亞可比方程式|reason= }}。

==標度因子==
拋物柱面坐標 <math>\sigma</math> 與 <math>\tau</math> 的標度因子相等；而 <math>z</math> 的標度因子是 1 ：
:<math>h_{\sigma} = h_{\tau} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}</math> 、
:<math>h_{z}=1</math> 。

無窮小體積元素是
:<math>dV = \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau dz</math> 。

[[拉普拉斯算子]]是
:<math>\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left(  \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} + 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}} \right) +
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial z^{2}}</math>。

其它微分算子，像 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> 、<math>\nabla \times \mathbf{F}</math> ，都可以用 <math>(\sigma,\ \tau,\ z)</math> 坐標表示，只要將標度因子代入在[[正交坐標系]]條目內對應的一般公式。

==應用==
拋物柱面坐標有一個經典的應用，這是在解析像[[拉普拉斯方程]]或[[亥姆霍茲方程]]這類的[[偏微分方程式]]。在這些方程式裏，拋物柱面坐標允許[[分離變數法]]的使用。個典型的例題是，有一塊半無限的平板[[導體]]，請問其周圍的[[電場]]為什麼？應用拋物柱面坐標，我們可以精緻地分析這例題。

==參閱==
{{正交坐標系}}

==參考文獻==
* {{cite book | author = Philip M. Morse, Herman Feshbach| date = 1953 | title = Methods of Theoretical Physics, Part I | url = https://archive.org/details/methodsoftheoret0000phil_w6e3| publisher = McGraw-Hill | location = New York | id = ISBN 0-07-043316-X| pages = p. 658}}

* {{cite book | author = Henry Margenau, Murphy GM | year = 1956 | title = The Mathematics of Physics and Chemistry | url = https://archive.org/details/mathematicsofphy0002marg | publisher = D. van Nostrand | location = New York | pages = pp. 186–187 }}

* {{cite book | author = Korn GA, Korn TM |date = 1961 | title = Mathematical Handbook for Scientists and Engineers | publisher = McGraw-Hill | location = New York | id = ASIN B0000CKZX7 | pages = p. 181}}

* {{cite book | author = Sauer R, Szabó I | date = 1967 | title = Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs | publisher = Springer Verlag | location = New York | pages = p. 96}}  

* {{cite book | author = Zwillinger D | date = 1992 | title = Handbook of Integration | publisher = Jones and Bartlett | location = Boston, MA | isbn = 0-86720-293-9 | pages = p. 114}}  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting ''u''<sub>''k''</sub> for ξ<sub>''k''</sub>。

* {{cite book | author = Moon P, Spencer DE | date = 1988 | chapter = Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z) | title = Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions | edition = corrected 2nd ed., 3rd print ed. | publisher = Springer-Verlag | location = New York | pages = pp. 21–24 (Table 1.04) | isbn = 978-0387184302}}

==外部連結==
*數學世界的拋物柱面坐標系[http://mathworld.Wolfram.com/ParabolicCylindricalCoordinates.html 頁面] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/ParabolicCylindricalCoordinates.html |date=20201111223826 }}

[[Category:坐標系|P]]