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'''拉马努金theta函数'''是一个由英国数学家[[斯里尼瓦瑟·拉马努金]]定义的双变量[[复变函数|复变]][[theta函数]]，推广了[[雅可比theta函数]]，被广泛地运用在q-函数和级数的理论中。
==定义==
拉马努金theta函数被定义为

: <math>f(a,b)\equiv\sum_{k=-\infty}^\infty a^{k(k+1)/2}b^{k(k-1)/2};/|ab|<1</math>而其中<math>f(a,b)=f(b,a)</math>
对于所有的<math>\forall a=-1</math>，拉马努金theta函数取到简单[[零点]]。
拉马努金theta函数也可以用[[q-珀赫哈默尔符号]]定义，如
: <math>f(a,b)=(-a;ab)_\infty(-b;ab)_\infty(ab;ab)_\infty</math>
这说明与其他theta函数类似，拉马努金theta函数也与[[q-模拟]]存在紧密联系。它有一个积分表示，
<math>f(a,b)= 1 + \int_0^{\infty} \frac{2a\exp(-t^2/2)}{\sqrt{2\pi}}\left[ \frac{1 - a \sqrt{ab} \cosh\left(\sqrt{\ln(ab)} t\right)}{ 1+a^3 b - 2a \sqrt{ab} \cosh\left(\sqrt{\ln(ab)} t\right)} \right] dt + \int_0^{\infty} \frac{2b\exp(-t^2/2)}{\sqrt{2\pi}}\left[ \frac{1 - b \sqrt{ab} \cosh\left(\sqrt{\ln(ab)} t\right)}{ 1+a b^3 - 2b \sqrt{ab} \cosh\left(\sqrt{\ln(ab)} t\right)} \right]dt</math>

==与其他函数的联系==
单变量的拉马努金theta函数被定义成
: <math>f(-q)\equiv f(-q,-q^2)=(q,q)_\infty;/|q|<1</math>

此外，[[拉马努金phi函数]]，[[拉马努金psi函数]]和[[拉马努金chi函数]]也是拉马努金theta函数的特殊单变量情形。它们之间的关系可以被解释为：
: <math>\varphi(q)\equiv f(q,q)=\frac{(-q,-q)_\infty}{(+q,-q)_\infty}</math>
而它就是第三雅可比theta函数的特例<math>\varphi(q)=\vartheta_3(q)</math>，它的级数表达是OEIS中的数列[https://oeis.org/A000122 A000122] {{Wayback|url=https://oeis.org/A000122 |date=20210309063704 }}。
: <math>\psi(q)\equiv f(q,q^3)=\frac{(q^2,q^2)_\infty}{(q,q^2)_\infty}</math>
它的级数表达是OEIS中的数列[https://oeis.org/A010054 A010054] {{Wayback|url=https://oeis.org/A010054 |date=20201117093744 }}。
: <math>\chi(q)\equiv f(-q,q^2)</math>
它的级数表达是OEIS中的数列[https://oeis.org/A000700 A000700] {{Wayback|url=https://oeis.org/A000700 |date=20201029084117 }}。

==應用==
拉馬努金theta函數用於確定[[玻色弦理論]]、[[超弦理論]]和[[M理論]]中的{{le|臨界維數|Critical dimension}}。

==参考资料==
* {{Mathworld|RamanujanThetaFunctions|Ramanujan Theta Functions}}

[[Category:Θ函數]]
[[Category:椭圓函數]]
[[Category:模形式]]
[[Category:斯里尼瓦瑟·拉马努金]]