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{{Distinguish|拉馬努金和}}
'''拉馬努金求和'''（{{lang-en|Ramanujan summation}}）是由數學家[[斯里尼瓦瑟·拉馬努金]]所發明的數學技巧，指派一特定值予無限[[發散級數]]。儘管拉馬努金求和不是傳統的[[和]]的概念，其在探討發散級數上極有用處；因為在此情形下，傳統的求和方式是無法定義的。拉馬努金求和的成果可用在[[複分析]]、[[量子力學]]及[[弦理論]]等領域。

== 求和法 ==
拉馬努金求和法本質上是[[部分和]]的性質，而非整個[[數列]]的[[級數|級數和]]性質，後者在此情形通常是無法定義的。若我們同時採用[[歐拉-麥克勞林求和公式]]以及[[伯努利數]]的修正規則，可得：
:<math>\begin{align}
 {} &\frac{1}{2}f\left( 0\right) + f\left( 1\right) + \cdots + f\left( n - 1\right) +
      \frac{1}{2}f\left( n\right) \\
  = &\frac{1}{2}\left[f\left( 0\right) + f\left( n\right)\right] + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( k \right) \\
  = &\int_0^n f(x)\,dx + \sum_{k=1}^p \frac{B_{k + 1}}{(k + 1)!}\left[f^{(k)}(n) - f^{(k)}(0)\right] + R_p
\end{align}</math>

拉馬努金寫道：<ref> Bruce C. Berndt, [http://www.comms.scitech.susx.ac.uk/fft/math/RamanujanNotebooks1.pdf Ramanujan's Notebooks] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061012064851/http://www.comms.scitech.susx.ac.uk/fft/math/RamanujanNotebooks1.pdf |date=2006-10-12 }}, ''Ramanujan's Theory of Divergent Series'', Chapter 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133-149.</ref>當''p''趨近於無限大，
:<math>\sum_{k=1}^{x}f(k) = C + \int_0^x f(t)\,dt + \frac{1}{2}f(x) + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k - 1)}(x)</math>，

其中''C''是此級數的特定常數，然而拉馬努金並未指定其[[解析延拓]]以及積分的上下限。將兩式作比較，並假設''R''趨近於0，而''x''趨近於無限大；當一函數 ''f''(''x'') 在''x'' = 0不發散：
:<math>C(a)=\int_0^a f(t)\,dt-\frac{1}{2}f(0)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(0)</math>

其中拉馬努金假設<math>\scriptstyle a \,=\, 0</math>。若設<math>\scriptstyle a \,=\, \infty</math>，可得到尋常收斂級數的求和式。當一函數 ''f''(''x'') 在''x'' = 1不發散，可得：
:<math>C(a) = \int_1^a f(t)\,dt+ \frac{1}{2}f(1) - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(1)</math>

''C''(0)因此被提議用作發散數列的和。在此建立了求和與積分之間的橋梁。

== 發散級數的和 ==
下文中，<math>\scriptstyle (\Re)</math>表示「拉馬努金求和法的值」。此式最早出現在拉馬努金的筆記本，筆記本中沒有任何註記指示出此為一種新求和法的範例。

舉例來說，{{nowrap|[[格蘭迪級數|1 - 1 + 1 - 1 + ⋯]]}}的<math>\scriptstyle (\Re)</math>為:
:<math>1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = \frac{1}{2}\ (\Re)</math>。

拉馬努金計算了一些知名發散級數的「和」。注意到拉馬努金和並非一般級數和的概念<ref name="Terry Tao on Ramanujan sums">{{cite web|title=The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation|url=http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/|accessdate=20 January 2014|archive-date=2017-06-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20170606223213/https://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/|dead-url=no}}</ref><ref name="Dirichlet vs Zeta">{{cite web|title=Infinite series are weird|url=http://skullsinthestars.com/2010/05/25/infinite-series-are-weird-redux/|accessdate=20 January 2014|archive-date=2020-11-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20201108120346/https://skullsinthestars.com/2010/05/25/infinite-series-are-weird-redux/|dead-url=no}}</ref>，亦即[[部分和]]不會收斂到<math>\scriptstyle (\Re)</math>這個值。

又如{{nowrap|[[1 + 2 + 3 + 4 + …|1 + 2 + 3 + 4 + ⋯]]}}的拉馬努金和<math>\scriptstyle (\Re)</math>：
:<math>1+2+3+4+\cdots = -\frac{1}{12}\ (\Re)</math>

延伸至正偶數冪，可得：
:<math>1 + 2^{2k} + 3^{2k} + \cdots = 0\ (\Re)</math>

而奇數冪的結果則與[[伯努利數]]有關：
:<math>1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots = -\frac{B_{2k}}{2k}\ (\Re)</math>

目前有提議採用''C''(1)取代''C''(0)作為拉馬努金求和的結果，以其可保證一個級數<math>\scriptstyle \sum_{k=1}^{\infty}f(k) </math>允許唯一的拉馬努金求和結果。<ref>Éric Delabaere, [http://algo.inria.fr/seminars/sem01-02/delabaere2.pdf Ramanujan's Summation] {{Wayback|url=http://algo.inria.fr/seminars/sem01-02/delabaere2.pdf |date=20061205112232 }}, ''Algorithms Seminar 2001–2002'', F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.</ref> 

如此拉馬努金求和的定義（標作<math>\scriptstyle \sum_{n \ge 1}^{\Re} f(n)</math>）與早期拉馬努金求和''C''(0)不相同，也與收斂級數求和的結果不相同；但其帶有有趣的性質：若''R''(''x'')趨近於一個有限值極限，當''x''&nbsp;→&nbsp;+1，則此級數<math>\scriptstyle \sum_{n \ge 1}^{\Re} f(n)</math>是收斂的，而可得
:<math>\sum_{n \ge 1}^{\Re} f(n) = \lim_{N \to \infty}\left[\sum_{n = 1}^{N}f(n) - \int_1^N f(t)\,dt\right]</math>。

特別是如下例子：
:<math>\sum_{n \ge 1}^{\Re} \frac{1}{n} = \gamma</math>

其中''γ''是[[歐拉-馬斯刻若尼常數]]。

拉馬努金求和可以延伸至積分：舉例來說，運用[[歐拉-麥克勞林求和公式]]可寫出
:<math>  \begin{array}{l}
\int\nolimits_{a}^{\infty }x^{m-s} dx =\frac{m-s}{2} \int\nolimits_{a}^{\infty }x^{m-1-s} dx +\zeta (s-m)-\sum\limits_{i=1}^{a}i^{m-s}  +a^{m-s}  \\
-\sum\limits_{r=1}^{\infty }\frac{B_{2r} \Gamma (m-s+1)}{(2r)!\Gamma (m-2r+2-s)}  (m-2r+1-s)\int\nolimits_{a}^{\infty }x^{m-2r-s} dx \end{array} </math>，
此為ζ函數正規化演算積分的自然延伸。

迭代方程式為有限的，因為當<math> m-2r < -1</math>，
:<math>\qquad \int_{a}^{\infty}dxx^{m-2r}= -\frac{a^{m-2r+1}}{m-2r+1} </math>；

其中
:<math>I(n,\, \Lambda) \,=\, \int_{0}^{\Lambda}dxx^{n}</math>（參見：{{le|黎曼ζ函數正規化|Zeta function regularization}}。）

要是<math> \Lambda \rightarrow \infty</math>，拉馬努金求和可以應用在[[量子場論]]的[[重整化]]方法，得到有限值的結果。

== 相關條目 ==
* [[發散級數]]
* [[切薩羅求和]]
* [[博雷爾求和]]
* [[拉馬努金和]]
* [[格蘭迪級數|1 - 1 + 1 - ⋯]]
* [[1 + 2 + 3 + 4 + …]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

[[Category:可和法]]
[[Category:斯里尼瓦瑟·拉马努金]]