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{{NoteTA
|G1=Math
}}

在[[数学]]中，以[[法国]][[数学家]]{{link-en|埃德蒙·拉盖尔|Edmond Laguerre}}命名的'''拉盖尔多项式'''定义为'''拉盖尔方程'''的标准解。
:<math>
x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,
</math>
这是一个二阶[[线性微分方程]]。

这个方程只有当''n''非负时，才有非奇异解。拉盖尔多项式可用在[[高斯求積|高斯积分法]]中，计算形如<math>\int_0^\infty f(x) dx</math>的积分。

这些多项式（通常用''L''<sub>0</sub>,&nbsp;''L''<sub>1</sub>等表示）构成一个[[多项式序列]]。这个多项式序列可以用[[罗德里格公式]]递推得到。
:<math>
L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right).
</math>
在按照下式定义的内积构成的[[内积空间]]中，拉盖尔多项式是[[正交多项式]]。
:<math>\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^{-x}\,dx.</math>
拉盖尔多项式构成一个{{link-en|Sheffer序列|Sheffer sequence}}。

拉盖尔多项式在量子力学中有重要应用。氢原子[[薛定谔方程]]的解的径向部分，就是拉盖尔多项式。

物理学家通常采用另外一种拉盖尔多项式的定义形式，即在上面的形式的基础上乘上一个''n''<nowiki>!</nowiki>。

==前几个拉盖尔多项式==
前几个拉盖尔多项式的表达式与函数图像如下：
<center><table class="wikitable">
<tr>
<td width="20%" align="center">''n''</td>
<td align="center"><math>L_n(x)\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">0</td>
<td><math>1\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">1</td>
<td><math>-x+1\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">2</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">3</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">4</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,</math>
</tr>
<tr>
<td align="center">5</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,</math>
</tr>
<tr>
<td align="center">6</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,</math>
</tr>
</table>
</center>
[[File:Laguerre poly.svg|thumb|center|400px|前六个拉盖尔多项式]]
==递归定义==
拉盖尔多项式也可以通过递归的方式进行定义。首先，规定前两个拉盖尔多项式为：
:<math>L_0(x) = 1\,</math>
:<math>L_1(x) = 1 - x\,</math>
然后运用下面的[[正交多项式|递推关系]]得到更高阶的多项式。
:<math>L_{k + 1}(x) = \frac{1}{k + 1} \left( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)\right). </math>

==广义拉盖尔多项式==
上面提到的拉盖尔多项式的正交性，也可以用另外一种方式表达。即：如果''X''是一个服从[[指数分布]]的[[随机变量]]（即，[[概率密度函数]]如下式）：
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x} & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.</math>
那么：
:<math>E \left[ L_n(X)L_m(X) \right]=0\ \mbox{whenever}\ n\neq m.</math>
指数分布不是唯一的[[伽玛分布]]，对于任意的伽玛分布（概率密度函数如下，''α''&nbsp;>&nbsp;&minus;1，参见[[Γ函数]]）
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} x^\alpha e^{-x}/\Gamma(1+\alpha) & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.</math>
相应的正交多项式为形如下式的'''广义拉盖尔多项式'''（可以通过[[罗德里格公式]]得到）：
:<math>L_n^{(\alpha)}(x)=
{x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right).</math>
有时也将上面的多项式称为'''连带（联属，伴随）拉盖尔多项式'''。当取α = 0时，就回到拉盖尔多项式：
:<math>L^{(0)}_n(x)=L_n(x).</math>
==广义拉盖尔多项式的性质与应用==
* 拉盖尔函数可以由[[合流超几何函数]]和Kummer变换得到： <math>L_n^{(\alpha)}(x):= {n+ \alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x)={n+ \alpha \choose n} \sum_{i=0} (-1)^i \frac{{n \choose i}}{{\alpha+i \choose i}}x^i\, </math> <math>= e^x\cdot {n+ \alpha \choose n} M(\alpha+n+1,\alpha+1,-x)</math><math>=\frac{e^x \sin(n \pi )}{\sin((n+\alpha)\pi)}L_{-\alpha-n-1}^{(\alpha)}(-x)</math><math>=e^x\cdot\sum_{i=0}(-1)^i {\alpha+n+i \choose n} \frac{x^i}{i!}.</math>当<math>n</math>为整数时，截断为<math>n</math>阶拉盖尔多项式。
*<math>n</math>阶拉盖尔多项式可以通过将{{link-en|莱布尼茨乘积求导公式|Leibniz's theorem for differentiation of a product}}应用在罗德里格公式上而得到，结果为<math> L_n^{(\alpha)} (x) = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+\alpha \choose n-i} \frac{x^i}{i!} </math>。
* ''n''阶拉盖尔多项式的首项系数为(&minus;1)<sup>''n''</sup>/''n''<nowiki>!</nowiki>；
*拉盖尔多项式在x=0的取值（[[常数项]]）为 <math>L_n^{(\alpha)}(0)= {n+\alpha\choose n} \approx \frac{n^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)};</math>
* ''L''<sub>''n''</sub><sup>(''α'')</sup>有''n''个[[实数|实]]的正[[根 (数学)|根]]（应该注意到 <math>\left((-1)^{n-i} L_{n-i}^{(\alpha)}\right)_{i=0}^n</math>构成以[[施图姆定理|施图姆序列]]），且这些根全部位于[[区间]]<math>(0, n+\alpha+ (n-1) \sqrt{n+\alpha}]</math>中。
* 当<math>n</math>很大，而<math>\alpha</math>不变，<math>x>0</math>时，拉盖尔多项式的渐近行为如下：
:<math>L_n^{(\alpha)}(x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi}} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \cos\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)}- \frac{\pi}{2}\left(\alpha+\frac{1}{2} \right) \right)</math>，以及
:<math>L_n^{(\alpha)}(-x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi}} \frac{e^{-\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \exp\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)} \right)</math>。<ref>Abramowitz, [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_506.htm p. 506, 13.3.8] {{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_506.htm |date=20090929092422 }}</ref>
* 前几个广义拉盖尔多项式为：
:<math> L_0^{(\alpha)} (x) = 1 </math>
:<math> L_1^{(\alpha)}(x) = -x + \alpha +1</math>
:<math> L_2^{(\alpha)}(x) = \frac{x^2}{2} - (\alpha + 2)x + \frac{(\alpha+2)(\alpha+1)}{2}</math>
:<math> L_3^{(\alpha)}(x) = \frac{-x^3}{6} + \frac{(\alpha+3)x^2}{2} - \frac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2}
+ \frac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}</math>
* 根据拉盖尔多项式的定义，可以使用[[秦九韶算法]]计算拉盖尔多项式，程序代码如下：
  '''function''' LaguerreL(n, alpha, x) {
     LaguerreL:= 1; bin:= 1 
     '''for''' i:= n '''to''' 1 '''step''' -1 {
         bin:= bin* (alpha+ i)/ (n+ 1- i)
         LaguerreL:= bin- x* LaguerreL/ i
     }
     '''return''' LaguerreL;
  }

===递推关系===
拉盖尔多项式满足以下的递推关系：
:<math>L_n^{(\alpha+\beta+1)}(x+y)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x) L_{n-i}^{(\beta)}(y), </math>
特别地，有
:<math>L_n^{(\alpha+1)}(x)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x)</math>以及<math>L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^n{\alpha-\beta+n-i-1 \choose n-i} L_i^{(\beta)}(x)</math>，或<math>L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n \choose n-i} L_i^{(\beta- i)}(x);</math>
还有
:<math>\begin{align}L_n^{(\alpha)}(x)- \sum_{j=0}^{\Delta-1} {n+\alpha \choose n-j} (-1)^j \frac{x^j}{j!}&= (-1)^\Delta\frac{x^\Delta}{(\Delta-1)!} \sum_{i=0}^{n-\Delta} \frac{{n+\alpha \choose n-\Delta-i}}{(n-i){n \choose i}}L_i^{(\alpha+\Delta)}(x)\\
&=(-1)^\Delta\frac{x^\Delta}{(\Delta-1)!} \sum_{i=0}^{n-\Delta} \frac{{n+\alpha-i-1 \choose n-\Delta-i}}{(n-i){n \choose i}}L_i^{(n+\alpha+\Delta-i)}(x).\end{align}</math>
运用以上式子可以得到以下四条关系式：
* <math>L_n^{(\alpha)}(x) = L_n^{(\alpha+1)}(x) - L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x) </math><math>=\sum_{j=0}^k {k \choose j} L_{n-j}^{(\alpha-k+j)}(x),</math>
* <math>n L_n^{(\alpha)}(x) = (n + \alpha )L_{n-1}^{(\alpha)}(x) - x L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x),</math> or <math>\frac{x^k}{k!}L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^k (-1)^i {n+i \choose i} {n+\alpha \choose k-i} L_{n+i}^{(\alpha-k)}(x),</math>
* <math>n L_n^{(\alpha+1)}(x)=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x)+(n+\alpha)L_{n-1}^{(\alpha)}(x)</math>
* <math>x L_n^{(\alpha+1)}=(n+\alpha)L_{n-1}^{\alpha}(x)-(n-x)L_n^{(\alpha)}(x);</math>
将它们组合在一起，就得到了最常用的递推关系式：
:<math>L_{n + 1}^{(\alpha)}(x) = \frac{1}{n + 1} \left( (2n + 1 + \alpha - x)L_n^{(\alpha)}(x) - (n + \alpha) L_{n - 1}^{(\alpha)}(x)\right).</math>
当<math>i</math>与<math>n</math>均为整数时，拉盖尔多项式有以下的有趣性质：
:<math> \frac{(-x)^i}{i!} L_n^{(i-n)}(x) = \frac{(-x)^n}{n!} L_i^{(n-i)}(x);</math>
进一步可以得到[[部分分式分解]]：
:<math>\frac{L_n^{(\alpha)}(x)}{{n+ \alpha \choose n}}= 1- \sum_{j=1}^n \frac{x^j}{\alpha + j} \frac{L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!} = 1-x \sum_{i=1}^n \frac{L_{n-i}^{(-\alpha)}(x)  L_{i-1}^{(\alpha+1)}(-x)}{\alpha +i}.</math>

===拉盖尔多项式的导函数===
将拉盖尔多项式对自变量''x''求导''k''次，得到：
:<math>
\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d x^k} L_n^{(\alpha)} (x)
= (-1)^k L_{n-k}^{(\alpha+k)} (x)\,;
</math>
进一步有：
:<math>\frac{1}{k!} \frac{\mathrm d^k}{\mathrm d x^k} x^\alpha L_n^{(\alpha)} (x) 
= {n+\alpha \choose k} x^{\alpha-k} L_n^{(\alpha-k)}(x),</math>
运用{{link-en|柯西多重积分公式|Cauchy formula for repeated integration}}可以得到：
:<math>L_n^{(\alpha')}(x) = (\alpha'-\alpha) {\alpha'+ n \choose \alpha'-\alpha} \int_0^x \frac{t^\alpha (x-t)^{\alpha'-\alpha-1}}{x^{\alpha'}} L_n^{(\alpha)}(t)\,dt.</math>
将拉盖尔多项式对参变量<math>\alpha</math>求导，得到下面的有意思的结果：
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm d \alpha}L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{n-i}.</math>
广义拉盖尔多项式满足下面的微分方程：
:<math>
x L_n^{(\alpha) \prime\prime}(x) + (\alpha+1-x)L_n^{(\alpha)\prime}(x) + n L_n^{(\alpha)}(x)=0,\,
</math>
可以与拉盖尔多项式的k阶导数所满足的微分方程作一比较。
:<math>
x L_n^{(k) \prime\prime}(x) + (k+1-x)L_n^{(k)\prime}(x) + (n-k) L_n^{(k)}(x)=0,\,
</math>
仅在此式中，<math>L_n^{(k)}(x)\equiv\frac{dL_n(x)}{dx^k}</math>（后面这个符号又有了新的含义）。

于是，当<math>\alpha=0</math>时，广义拉盖尔多项式可以用拉盖尔多项式的导数表示：
<math>L_n^{(k)}(x)=(-1)^k\frac{dL_{n+k}(x)}{dx^k}</math>
式中的上标(k)容易与求导k次混淆。
===正交性===
伴随拉盖尔多项式在区间<nowiki>[</nowiki>0,&nbsp;∞<nowiki>)</nowiki>上以权函数''x''<sup>''α''</sup>&nbsp;''e''<sup>&nbsp;&minus;''x''</sup>正交：
:<math>\int_0^{\infty}x^\alpha e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{n,m},</math>
这可由下式得到：
:<math>\int_0^\infty x^{\alpha'-1} e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)dx= {\alpha-\alpha'+n \choose n} \Gamma(\alpha').</math>
伴随对称核多项式可以用拉盖尔多项式表示为：
:<math>\begin{align}
K_n^{(\alpha)}(x,y)&{:=}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{i=0}^n \frac{L_i^{(\alpha)}(x) L_i^{(\alpha)}(y)}{{\alpha+i \choose i}}\\
&{=}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \frac{L_n^{(\alpha)}(x) L_{n+1}^{(\alpha)}(y) - L_{n+1}^{(\alpha)}(x) L_n^{(\alpha)}(y)}{\frac{x-y}{n+1} {n+\alpha \choose n}} \\
&{=}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}\sum_{i=0}^n \frac{x^i}{i!} \frac{L_{n-i}^{(\alpha+i)}(x) L_{n-i}^{(\alpha+i+1)}(y)}{{\alpha+n \choose n}{n \choose i}};\end{align}</math>
也有下面的递推关系：
:<math>K_n^{(\alpha)}(x,y)=\frac{y}{\alpha+1} K_{n-1}^{(\alpha+1)}(x,y)+ \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \frac{L_n^{(\alpha+1)}(x) L_n^{(\alpha)}(y)}{{\alpha+n \choose n}}.</math> 
进一步地，在伴''L''<sup>2</sup><nowiki>[</nowiki>0,&nbsp;∞<nowiki>)</nowiki>空间<!--associated ''L''<sup>2</sup><nowiki>[</nowiki>0,&nbsp;∞<nowiki>)</nowiki>-space-->上，有：
: <math>y^\alpha e^{-y} K_n^{(\alpha)}(\cdot, y) \rightarrow \delta(y- \, \cdot),</math>
在氢原子的量子力学处理中用到了下面的公式：
:<math>\int_0^{\infty}x^{\alpha+1} e^{-x} \left[L_n^{(\alpha)}\right]^2 dx=
\frac{(n+\alpha)!}{n!}(2n+\alpha+1).</math>
===级数展开===
设一个函数具有以下的级数展开形式：
: <math>f(x)= \sum_{i=0} f_i^{(\alpha)} L_i^{(\alpha)}(x).</math>
则展开式的系数由下式给出
:<math>f_i^{(\alpha)}=\int_0^\infty \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{{i+ \alpha \choose i}} \cdot \frac{x^\alpha e^{-x}}{\Gamma(\alpha+1)} \cdot f(x) \,dx .</math>
这个级数在[[Lp空间]]<math>L^2[0,\infty)</math>上收敛，[[当且仅当]]
:<math>\| f \|_{L^2}^2 := \int_0^\infty \frac{x^\alpha e^{-x}}{\Gamma(\alpha+1)} | f(x)|^2 dx = \sum_{i=0} {i+\alpha \choose i} |f_i^{(\alpha)}|^2 < \infty. </math>
一个相关的展开式为： 
:<math> f(x)= e^{\frac{\gamma}{1+\gamma} x} \cdot \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}\left(\frac{x}{1+\gamma}\right)}{(1+\gamma)^{i+\alpha+1}}  \sum_{n=0}^i \gamma^{i-n} {i \choose n} f_n^{(\alpha)};</math>
特别地
:<math>e^{-\gamma x} \cdot L_n^{(\alpha)}(x(1+\gamma))= \sum_{i=n} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{(1+\gamma)^{i+\alpha+1}} \gamma^{i-n} {i \choose n},</math>
这可由下式得到：
:<math>L_n^{(\alpha)}\left(\frac{x}{1+\gamma} \right)= \frac{1}{(1+\gamma)^n} \sum_{i=0}^n \gamma^{n-i} {n+\alpha \choose n-i} L_i^{(\alpha)}(x).</math>
还有，当<math>\operatorname{Re}{(2\alpha- \beta)}>-1</math>时，
:<math>\frac{x^{\alpha-\beta} f(x)}{\Gamma(\alpha-\beta+1)}= {\alpha \choose \beta} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\beta)}(x)}{{\beta+i \choose i}} \sum_{n=0}^i (-1)^{i-n} {\alpha-\beta \choose i-n} {\alpha+n \choose n} f_n^{(\alpha)},</math> 
这个结果可以由下式导出，
:<math>\frac{x^{\alpha-\beta} L_n^{(\alpha)}(x)}{\Gamma(\alpha-\beta+1)} = {\alpha \choose \beta} {\alpha+ n\choose n} \sum_{i=n} (-1)^{i-n} {\alpha-\beta \choose i-n} \frac{L_i^{(\beta)}(x)}{{\beta+i \choose i}} </math>
====更多的例子====
[[幂函数]]可以展开为：
:<math>\frac{x^n}{n!}= \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+ \alpha \choose n-i} L_i^{(\alpha)}(x)= (-1)^n \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha-i)}(x) {-\alpha \choose n-i},</math>
[[二项式系数|二项式]]可以展开为：
:<math>{n+x \choose n}= \sum_{i=0}^n \frac{\alpha^i}{i!} L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha).</math>
进一步可以得到：
:<math>e^{-\gamma x}= \sum_{i=0} \frac{\gamma^i}{(1+\gamma)^{i+\alpha+1}} L_i^{(\alpha)}(x)</math>（当且仅当 <math>\operatorname{Re}{(\gamma)} > -\frac{1}{2}</math>时收敛）
更一般地
:<math> \frac{x^\beta e^{-\gamma x}}{\Gamma(\beta+1)}= {\alpha+\beta \choose \alpha} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{ {\alpha+i \choose i}} \sum_{j=0}^i \frac{(-1)^j}{(1+\gamma)^{\alpha+ \beta+ j+ 1}} {\alpha+\beta+j \choose j} {\alpha+i \choose i-j}.</math>
对于非负的整数<math>\beta</math>，可以化简为：
:<math>\frac{x^n e^{-\gamma x}}{n!}= \sum_{i=0} \frac{\gamma^i L_i^{(\alpha)}(x)}{(1+\gamma)^{i+n+\alpha+1}} \sum_{j=0}^n (-1)^{n-j} \gamma^j {n+\alpha \choose j} {i \choose n-j},</math>
当<math>\gamma=0</math>时，可以化简为：
:<math>\frac{x^\beta}{\Gamma(\beta+1)} = {\alpha+ \beta \choose \alpha} \sum_{i=0} (-1)^i {\beta \choose i} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{{\alpha+i \choose i}},</math>或
:<math>\frac{x^\beta L_n^{(\gamma)}(x)}{\Gamma(\beta+1)} = {\alpha+ \beta \choose \alpha} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{{\alpha+i \choose i}}\sum_{j=0}^n (-1)^{i-j} {n+ \gamma \choose n-j} {\beta+j \choose i} {\alpha+ \beta+ j \choose j}.</math> 
雅可比[[Theta 函数]]有下面的表示：
:<math>\sum_{k \in \mathbb{Z}} e^{-k^2 \pi x}= \sum_{i=0} L_i^{(\alpha)}\left(\frac{x}{t}\right) \sum_{k \in \mathbb{Z}} \frac{(k^2 \pi t)^i}{(1+ k^2 \pi t)^{i+\alpha+1}};</math>
随意选定参量t，[[贝塞尔函数]]可以表示为：
<math>\frac{J_\alpha(x)}{\left( \frac{x}{2}\right)^\alpha}= \frac{e^{-t}}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}\left( \frac{x^2}{4 t}\right)}{{i+ \alpha \choose i}} \frac{t^i}{i!};</math>
[[Γ函数]]可以展开为： 
:<math>\Gamma(\alpha)=x^\alpha \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{\alpha+i} \qquad \left(\Re(\alpha)<\frac 1 2\right);</math>
低阶[[不完全伽玛函数]]可展开为：
:<math>\frac{\gamma(s;z)}{t^s \Gamma(s)}= \frac{\left(\frac{z}{t}\right)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}\left(\frac{z}{t}\right)}{{\alpha+i \choose i}} \sum_{j=0}^i \frac{(-1)^j}{(1+t)^{s+j}}{s-1+j \choose j}{\alpha-1+i \choose i-j},</math>
:<math>\frac{\gamma(s;z)}{t^s \Gamma(s)}= {\alpha+s \choose \alpha+1} \sum_{i=0} \frac{{\alpha+ i+1\choose i+1}- L_{i+1}^{(\alpha)}\left( \frac{z}{t}\right)}{{\alpha+ i+1\choose i}} \sum_{j=0}^i \frac{(-1)^j}{(1+t)^{\alpha+1+s+j} } {\alpha+s+j \choose j}{\alpha+i+1 \choose i-j}.</math>
还有：
:<math>\gamma(s,z)=\frac{\gamma^s}{\Gamma(1-s)} \sum_{i=0} \frac{L_{i+1}^{(-s)}(0)-L_{i+1}^{(-s)}\left(\frac{z}{\gamma}\right)}{(1+\gamma)^{i+1}} \sum_{n=0}^i \gamma^{i-n} \frac{{i \choose n}}{n+1-s};</math>
于是，高阶不完全伽玛函数就是：
:<math>\begin{align}\frac{\Gamma(s,z)}{z^s e^{- z}}&= \sum_{k=0} \frac{L_k^{(\alpha)}(z)}{(k+1) {k+1+\alpha-s \choose k+1}} \qquad \left(\Re\left(s-\frac \alpha 2 \right)< \frac 1 4 \right)\\
&= \sum_{k=0} L_k^{(\alpha)}(z\, t) \cdot \frac{_2F_1\left(1+\alpha+k, 1+k; 2+\alpha+k-s; \frac{t-1}{t}\right)}{t^k(k+1){1+\alpha+k-s \choose 1+k}} \\
&= t^s \sum_{k=0} L_k^{(\alpha)}(z\, t) \cdot \frac{_2F_1\left(1-s, 1+\alpha-s; 2+\alpha+k-s; \frac{t-1}{t}\right)}{(k+1){1+\alpha+k-s \choose 1+k}}\\
&= t^{1+\alpha} \sum_{k=0} L_k^{(\alpha)}(z \, t) \cdot \frac{_2F_1\left(1+\alpha+k, 1+\alpha-s; 2+\alpha+k-s; 1-t \right)}{(k+1){1+\alpha+k-s \choose 1+k}},\end{align}</math>
<math>_2F_1</math>表示[[超几何函数]]。

==围道积分表示==
拉盖尔多项式可以用[[围道积分]]表示，如下式所示：
:<math>L_n^{(\alpha)}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-\frac{x t}{1-t}}}{(1-t)^{\alpha+1}\,t^{n+1}} \; dt</math>
积分方向逆时针绕原点一周。
==与埃爾米特多項式的关系==
广义拉盖尔多项式与埃爾米特多項式有下列关系：
:<math>H_{2n}(x) = (-1)^n\ 2^{2n}\ n!\ L_n^{(-1/2)} (x^2)</math>
以及
:<math>H_{2n+1}(x) = (-1)^n\ 2^{2n+1}\ n!\ x\ L_n^{(1/2)} (x^2)</math>
这里的''H''<sub>''n''</sub>表示乘上了exp(&minus;''x''<sup>2</sup>)的[[埃爾米特多項式]]（所谓的“物理学家形式”）。
正因为这样，广义拉盖尔多项式也在[[量子谐振子]]的量子力学处理中出现。
==与超几何函数的关系==
拉盖尔多项式可以用[[超几何函数]]来定义，具体地说，是用[[合流超几何函数]]定义：
:<math>L^{(\alpha)}_n(x) = {n+\alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x) =\frac{(\alpha+1)_n} {n!}  \,_1F_1(-n,\alpha+1,x)</math>
<math>(a)_n</math>是[[阶乘幂]]，这里表示'''升阶乘'''。
==与贝塞尔函数的关系==
拉盖尔多项式与变形[[贝塞尔函数]]之间有以下关系：
:<math>\begin{align}L_n^{(\alpha)}(x)
=& e^\frac x 2 \left(\frac x 4\right)^{n+\frac 12}\frac{2 }{\sqrt \pi (n+1)! {-\frac 1 2 \choose n+1}}  \cdot \\ 
&\cdot\sum_{k=0}^n (-1)^{k+1}{2n+1 \choose n-k} \frac{{n+\alpha \choose n}{\alpha+2n+1 \choose n-k}}{{n-k+\alpha \choose n-k}} \left(k+\frac 1 2 \right) K_{k+\frac 1 2}\left(\frac x 2 \right)\\
= &e^\frac{x}{2} \left(\frac{4}{x}  \right)^{n+\alpha+\frac{1}{2}} \Gamma\left(\alpha+\frac{1}{2} \right) {-\alpha-1 \choose n}{-\alpha-\frac 1 2 \choose n}  \cdot \\
& \cdot n! \sum_{k=0}^{n} \frac{{-2n-1-2\alpha \choose k-n} {-2n-1-\alpha \choose k-n}}{{-\alpha-1 \choose k-n}} \left(\alpha+\frac{1}{2}+k \right) I_{\alpha+\frac 1 2+k} \left(\frac x 2 \right) \end{align}, </math>
进一步有：
:<math>L_n^{(\alpha)}(x)= \frac 2 {4^n (2n+1) {-\frac 1 2 \choose n}} \sum_{k=0}^n \left(k+\frac 1 2 \right) \frac{{2n+1 \choose n-k}}{{n \choose k}^2} {n+\alpha \choose k}{2n+\alpha+1 \choose n-k} \frac{x^{n-k}}{(n-k)!}L_k^{-2k-1}(x).</math>

==外部链接==
*[http://www.physics.drexel.edu/~tim/open/hydrofin 氢原子量子力学处理中的拉盖尔多项式的快速求导法]{{Wayback|url=http://www.physics.drexel.edu/~tim/open/hydrofin |date=20100619203300 }}
==注释==
<references/>
==参考文献==
* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm Chapter 22] {{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm |date=20090919135437 }}", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
* B Spain, M G Smith, ''Functions of mathematical physics'', Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
* Eric W. Weisstein, "[http://mathworld.wolfram.com/LaguerrePolynomial.html Laguerre Polynomial] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/LaguerrePolynomial.html |date=20100225150931 }}", From MathWorld—A Wolfram Web Resource. 
* {{cite book | author=George Arfken and Hans Weber| title= Mathematical Methods for Physicists| publisher=Academic Press| year=2000| isbn = 0-12-059825-6 }}
* S. S. Bayin (2006), ''Mathematical Methods in Science and Engineering'', Wiley, Chapter 3.
[[Category:多项式]]
[[Category:正交多项式]]
[[Category:特殊超几何函数]]