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{{NoteTA|G1=Math}}
{{中值定理}}

'''拉格朗日中值定理'''，也簡稱'''-{均值定理}-'''，是以法国数学家[[约瑟夫·拉格朗日]]命名，為[[罗尔定理|罗尔中值定理]]的推广，同时也是[[柯西中值定理]]的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做'''有限增量定理'''。

==内容==
===文字叙述===

如果[[函数]]<math>f(x)</math>满足：
#在[[闭区间]]<math>[a,b]</math>上[[连续]];
#在[[开区间]]<math>(a,b)</math>内[[可微分]];

则<math>\exists\xi,\; a<\xi<b</math>，使<math>f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>。

==证明==
[[File:拉格朗日中值定理.jpg|300px|thumb|拉格朗日中值定理的几何意义：函數<math>f(x)</math>在點<math>\xi</math>處的切線，平行於<math>f(a)</math>和<math>f(b)</math>兩點之間的連線。]]令<math>g(x)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)+f(a)-f(x)</math>。那么<br />
# <math>g</math>在<math>[a,b]</math>上连续，
# <math>g</math>在<math>(a,b)</math>上可微（导），
# <math>g(a)=g(b)=0</math>。由[[罗尔定理]]，存在至少一点<math>\xi\in(a,b)</math>，使得<math>g'(\xi)=0</math>。即<math>f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>。

==其他形式==
1.<math>f(b)-f(a)=f^\prime(a+\theta(b-a))(b-a),0<\theta<1</math>;

2. <math>f(a+h)-f(a)=f^\prime(a+\theta h)h,0<\theta<1</math>.
或
<math>f(x+\Delta x)-f(x)=f^\prime(x+\theta \Delta x)\Delta x,0<\theta<1</math>.

==另请参见==
* [[中值定理]]

{{約瑟夫·拉格朗日}}
[[Category:微积分]]
[[Category:数学定理|L]]