查看“︁拉克斯-米爾格拉姆定理”︁的源代码

'''拉克斯－米爾格拉姆定理'''是[[數學]][[泛函分析]]的定理，以[[彼得·拉克斯]]和[[阿瑟·米爾格拉姆]]命名。这定理可用來藉[[弱形式]]求解[[偏微分方程]]，因此主要用作[[有限元法]]的理論基礎。
==敘述==
設
* <math>\mathcal{H}</math>是實[[希爾伯特空間]]，其內積記作<math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>，導出範數<math>\|\cdot\|</math>，
* <math>a(\cdot,\cdot)</math>是[[雙線性型]]，使得
:* 在<math>\mathcal{H}\times\mathcal{H}</math>上[[連續]]：
::<math>\exists\,c>0, \forall (u,v)\in \mathcal{H}^2\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|</math>，
:* 在<math>\mathcal{H}</math>上[[強制]]（有稱為<math>\mathcal{H}</math>－橢圓性)：
::<math>\exists \,\alpha>0, \forall u\in\mathcal{H}\,,\ a(u,u) \geq \alpha\|u\|^2 </math>，
* <math>L</math>是<math>\mathcal{H}</math>上的[[連續]][[線性型]]。

那麼存在唯一的<math>u \in \mathcal{H}</math>，使得對所有<math>v\in\mathcal{H}</math>都有<math>a(u,v)=Lv</math>：

:<math>(1) \quad \exists!\ u \in \mathcal{H},\ \forall v\in\mathcal{H},\quad a(u,v)=Lv</math>。

而且如果<math>a</math>是[[對稱]]的，那麼<math> u </math>是<math>\mathcal{H}</math>中唯一的元素，使得以下[[泛函]]取[[最小值]]<math>J:\mathcal{H}\rightarrow\R</math>，<math>J(v) = \tfrac{1}{2}a(v,v)-Lv</math>對所有<math>v\in\mathcal{H}</math>，即：

:<math>(2) \quad \exists!\ u \in \mathcal{H},\quad J(u) = \min_{v\in\mathcal{H}}\ J(v)</math>。

==證明==
===一般情形===

套用[[里斯表示定理]]到連續線性型上，可知存在唯一的<math>f\in\mathcal{H}</math>，使得<math>Lv=\langle f,v\rangle</math>對任意<math>v\in\mathcal{H}</math>成立。

對所有<math>u\in\mathcal{H}</math>，映射<math>v\mapsto a(u,v)</math>是<math>\mathcal{H}</math>上連續線性型，因此同樣可知存在唯一的<math>A_u\in\mathcal{H}</math>，使得<math>a(u,v)=\langle A_u,v\rangle</math>對任意<math>v\in\mathcal{H}</math>成立。易知算子<math>A:u\mapsto A_u</math> 是一個<math>\mathcal{H}</math>上連續[[線性自同態]]。由此可把<math>(1)</math>表示成如下等價形式：

:<math>\exists!\ u \in \mathcal{H},\ Au=f</math>

要證明此命題，只要證得<math>A</math>是從<math>\mathcal{H}</math>到<math>\mathcal{H}</math>的'''[[雙射]]'''。首先證明它是'''[[單射]]'''，再證它是'''[[滿射]]'''。  

從<math>a</math>的強制性，使用[[柯西-施瓦茨不等式|柯西－施瓦茨不等式]]，得到對任何<math>v\in\mathcal{H}</math>

:<math>\alpha\|v\|^2 \leq a(v,v) = \langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|</math>

從而知對任何<math>v \in \mathcal{H}</math>
:<math>\|Av\| \geq \alpha\|v\|</math>   (*)。

這證明了<math>A</math>是單射。

要證明滿射，考慮算子<math>A</math>在<math>\mathcal{H}</math>內的[[像]]<math>\mathcal{Z}</math>。

不等式(*)表示，如<math>A u_n</math>是[[柯西序列]]，那麼<math>u_n</math> 是<math>\mathcal{H}</math>內的柯西序列。由<math>\mathcal{H}</math>的完備性，<math>u_n</math>收斂至<math>u \in \mathcal{H}</math>。因<math>A</math>連續，得出<math>A u_n</math>收斂至<math>A u</math>。

<math>\mathcal{Z}</math>因此為<math>\mathcal{H}</math>中的[[閉]]子空間，由[[投影定理]]可知<math>\mathcal{H}= \mathcal{Z} \oplus \mathcal{Z}^{\perp}</math>。

再設元素<math>w \in \mathcal{Z}^{\perp}</math>，從定義有<math>\langle Aw,w\rangle = 0</math>，因此
:<math>\alpha\|w\|^2 \leq a(w,w) = \langle Aw,w\rangle = 0</math>

故得<math>w=0</math>。所以<math>\mathcal{Z}^{\perp}</math>為<math>\{0\}</math>，證得<math>A</math>是滿射。

自同態<math>A</math>是雙射，故在<math>\mathcal{H}</math>內存在唯一的<math>u</math>使得<math>Au=f</math>，且可以由<math>u=A^{-1}f</math>得出。

===附注===

不用求出<math>u</math>，有其範數的上界估計

:<math>\|u\| \leq \frac{\|L\|'}{\alpha}</math> 

其中<math>\|\cdot\|' </math>表示[[對偶空間]]<math>\mathcal{H}^*</math>的範數。

===對稱情形===

如果雙線性型<math>a</math>[[對稱]]，那麼對所有<math>w\in\mathcal{H}</math>有：

:<math>J(u+w) = J(u)+\Big(a(u,w)-Lw\Big)+\frac{1}{2}a(w,w)</math>

因<math>u</math>是命題(1)的唯一解，有

:<math>J(u+w) = J(u)+\frac{1}{2}a(w,w)</math>

從<math>a</math>的強制性有：

:<math>J(u+w) \geq J(u) + \frac{\alpha}{2}\|w\|^2</math>

取<math>v = u+w</math>，從上式有<math>J(u) \leq J(v)</math>對任意<math>v\in\mathcal{H}</math>成立，因而得到<math>(2)</math>的結果。

==應用==
這定理是[[有限元法]]的基礎。實際上，若不在<math>\mathcal{H}</math>內求<math>u</math>，而是在<math>\mathcal{H}</math>的有限<math>n</math>維子空間<math>\mathcal{H}_n</math>內求<math>u_n</math>，那麼
* 如果<math>a</math>對稱，以<math>a</math>為[[內積]]，<math>u_n</math>是<math>u</math>的投影。
* 給出<math>\mathcal{H}_n</math>的[[基 (代數)|基]]<math>(\varphi_i)</math>，上述問題化為求解線性方程組：
:<math>\underline{\underline{A}} \underline{u_n} = \underline{b}</math> 

其中<math>A_{ij}=a(\varphi_j,\varphi_i)</math>，<math>b_i=L\varphi_i</math>。

{{泛函分析}}
{{泛函分析定理}}

[[Category:泛函分析|L]]
[[Category:數學定理|L]]

[[en:Lax-Milgram theorem]]