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'''拉东-尼科迪姆定理'''是[[数学]]中[[测度论]]里的一个结果。拉东-尼科迪姆定理说明了在给定了一个[[测度空间]]<math>(X,\Sigma)</math>的时候，如果测度空间<math>(X,\Sigma)</math>上的一个[[σ-有限测度]]<math>\nu</math>关于另一个σ-有限测度<math>\mu</math>[[绝对连续]]，那么存在一个在<math>X</math>上[[可测函数|可测]]的函数<math>f</math>，其取值范围为非负实数（<math>[0,\infty)</math>），并且对所有的可测集合<math>A</math>，都有：
:<math>\nu(A) = \int_A f \, d\mu</math>
这个定理得名于[[数学家]][[约翰·拉东]]以及{{link-en|欧顿·尼科迪姆|Otto M. Nikodym}}。拉东在1913年证明了这个定理在背景空间为<math>R^N</math>时的情况；尼科迪姆则在1930年证明了定理的一般情形<ref>{{cite journal
 |last=Nikodym
 |first=O.
 |language=法语
 |title=Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon
 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm15/fm15114.pdf
 |accessdate=2009-05-11
 |journal=Fundamenta Mathematicae
 |year=1930
 |volume=15
 |pages=131–179
 |archive-date=2016-09-09
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160909035959/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm15/fm15114.pdf
 |dead-url=yes
 }}</ref>。1936年，{{link-en|汉斯·弗洛伊登萨|Hans Freudenthal}}将这个定理推广，证明了[[里斯空间]]理论中的[[弗洛依登萨谱定理]]。拉东·尼科迪姆定理是后者的一个特例。

'''拉东-尼科迪姆导数'''是 <ref>{{Cite web |url=https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691113869/real-analysis |title=Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces: Elias M. Stein and Rami Shakarchi |access-date=2021-09-30 |archive-date=2021-09-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210930122236/https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691113869/real-analysis |dead-url=no }}</ref>
:<math>f = \frac{d\nu}{d\mu}</math>


==属性==
Bermudez et al. (2025) <ref>{{cite arxiv | eprint=2501.18374 | title=Proofs for Folklore Theorems on the Radon-Nikodym Derivative | author=Yaiza Bermudez, Gaëtan Bisson, Iñaki Esnaola, and Samir M. Perlaza | year=2025 }}</ref> 标准化了以下属性的证明。
* <!--Let ''ν'', ''μ'', and ''λ'' be σ-finite measures on the same measure space. If ''ν'' ≪ ''λ'' and ''μ'' ≪ ''λ'' (''ν'' and ''μ'' are both  [[Absolutely continuous#Absolute continuity of measures|absolutely continuous]] with respect to ''λ''), then --><math>\lambda</math>[[几乎处处]]：<math display="block"> \frac{d(\nu+\mu)}{d\lambda} = \frac{d\nu}{d\lambda}+\frac{d\mu}{d\lambda}.</math>
* 若 ''ν'' ≪ ''μ'' ≪ ''λ'', 则 <math>\lambda</math>几乎处处：<math display="block">\frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}.</math>
* 若 ''μ'' ≪ ''ν'' 以及 ''ν'' ≪ ''μ'', 则 <math>\nu</math>几乎处处：<math display="block"> \frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}.</math>
* 若 ''μ'' ≪ ''λ'' <!--and {{mvar|g}} is a ''μ''-integrable function,--> 则 <math display="block"> \int_X g\,d\mu = \int_X g\frac{d\mu}{d\lambda}\,d\lambda.</math>
* <!--If ''ν'' is a finite signed or complex measure, then --><math display="block"> {d|\nu|\over d\mu} = \left|{d\nu\over d\mu}\right|. </math>

== 参考来源 ==
{{reflist}}

[[Category:测度论]]
[[Category:数学定理|L]]