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在[[同調代數]]中，一個[[阿貝爾範疇]] <math>\mathcal{A}</math> 中的對象 <math>A</math> 之'''投射分解'''定義為一個[[正合序列]]
: <math>\cdots \longrightarrow P_{n} \longrightarrow P_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow P_0 \longrightarrow A \longrightarrow 0</math>
或簡寫成 <math>P_\bullet \rightarrow A \rightarrow 0</math>，使得其中每個 <math>P_n</math> 皆為[[投射對象]]。對任一對象 <math>A</math>，任兩個投射分解至多差一個[[鏈複形|鏈複形的同倫等價]]。

若 <math>\mathcal{A}</math> 中的每個對象都有投射分解，則稱 <math>\mathcal{A}</math> '''有充足的投射元'''，這類範疇上能以投射分解開展同調代數的研究。典型例子包括：
* [[环 (代数)|環]] <math>R</math> 上的[[模]]構成之範疇 <math>\mathbf{Mod}_R</math>，這是[[交換代數]]的主要對象。模上投射分解的特例是'''自由分解'''，此時我們要求每個 <math>P_\bullet</math> 都是[[自由模]]；由於任何模均可表成自由模的商，自由分解總是存在的。''希爾伯特合衝定理''斷言：若取 <math>R</math> 為[[体 (数学)|域]]上的[[多項式環]]，則自由分解在有限步之內停止。
* [[群]] <math>G</math> 的 <math>G</math>-模範疇 <math>G-\mathbf{Mod}</math>，也就是帶有 <math>G</math> 的[[群作用]]的阿貝爾群，此範疇上能定義[[群上同調]]。

反例則包括一般[[概形]] <math>X</math> 上的[[凝聚層]]範疇 <math>\mathbf{Coh}_X</math>。

與此對偶的概念是[[內射分解]]。

{{Algebra-stub}}

[[Category:交換代數|T]]
[[Category:同調代數|T]]