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[[File:Oblate_spheroidal_coordinates_half_hyperboloid.png|thumb|350px|right|圖1）扁球面坐標系的幾個[[坐標曲面]]。紅色扁球面的<math>\mu=1</math>。藍色半雙曲面的<math>\nu=45^{\circ}</math>。黃色半平面的<math>\phi= - 60^{\circ}</math>（黃色半平面與xz-半平面之間的[[二面角]]角度是<math> - 60^{\circ}</math>）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點P（以黑色的圓球表示），[[直角坐標]]大約為<math>(1.09,\ - 1.89,\ 1.66)</math>。]]
[[File:OblateSpheroidCoord.png|thumb|right|350px|圖2）橢圓坐標系繪圖。横軸是x-軸，豎軸是z-軸。紅色橢圓（<math>\mu</math>-等值線）變成上圖的紅色扁球面（<math>\mu</math>坐標曲面），而<math>x>0</math>青藍色雙曲線（<math>\nu</math>-等值線）則變成藍色半雙曲面（<math>\nu</math>坐標曲面）。]]

'''扁球面坐標系'''（{{lang-en|Oblate spheroidal coordinates}}）是一種三維[[正交坐標系]]。設定二維[[橢圓坐標系]]包含於xz-平面；兩個焦點<math>F_{1}</math>與<math>F_{2}</math>的[[直角坐標]]分別為<math>( - a,\ 0,\ 0)</math>與<math>(a,\ 0,\ 0)</math>。將橢圓坐標系繞著z-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。（假若，繞著y-軸旋轉，則可以得到[[長球面坐標系]]。）橢圓坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為<math>a</math>的圓圈，包含於三維空間的xy-平面。稱這圓圈為'''焦圓'''，又稱為'''參考圓'''。扁球面坐標系可以被視為[[橢球坐標系]]的極限案例，其兩個最大的半軸的長度相同。

當邊界條件涉及[[扁球面]]或[[雙曲面|旋轉雙曲面]]時，扁球面坐標時常可以用來解析[[偏微分方程式]]。例如，關於[[佩蘭摩擦因子]]（{{lang|en|Perrin friction factors}}）的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。[[讓·佩蘭]]因此而榮獲1926年[[諾貝爾物理獎]]。佩蘭摩擦因子決定了[[分子]]的[[旋轉擴散]]（{{lang|en|rotational diffusion}}）。這程序又影響了許多科技，像[[蛋白質]][[核磁共振]][[光譜學]]（{{lang|en|protein NMR}}），的可行性。應用這程序，我們可以推論分子的[[流體動力學|流體動力]]體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析[[電磁學]]（例如，扁球形帶電的分子的[[電容率]]），[[聲學]]（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），[[流體動力學]]（水通過消防水帶的噴口），[[擴散|擴散理論]]（紅熱的錢幣在水裏的冷卻），等等方面的問題。

==第一種表述==
在三維空間裏，一個點P的扁球面坐標<math>(\mu,\ \nu,\ \phi)</math>常見的定義是
:<math>x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi</math>、
:<math>y = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi</math>、
:<math>z = a \ \sinh \mu \ \sin \nu</math>。

其中，<math>\mu\ge 0</math>是個實數，角度<math> - 90^{\circ} \le \nu \le 90^{\circ}</math>，角度<math> - 180^{\circ} \le \phi \le 180^{\circ}</math>。

學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有[[簡併]]；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。

===坐標曲面===
<math>\mu</math>坐標曲面是扁球面 ：
:<math>\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{z^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1</math>。

它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著x-軸，長半軸長度為<math>a\cosh\mu</math>，沿著z-軸，短半軸長度為<math>a\sinh\mu</math>。橢圓的焦點都包含於x-軸，x-坐標分別為<math>\pm a</math>。

<math>\nu</math>坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 ：
:<math>\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{z^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1</math>。

假若<math>\nu</math>是正值，<math>z</math>也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上；假若是負值，則在xy-平面以下。<math>\nu</math>是雙曲線的[[漸近線]]的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸，x-坐標分別為<math>\pm a</math>。

<math>\phi</math>坐標曲面是個半平面 ：
:<math>x\sin\phi - y\cos\phi=0</math>。

===逆變換===
用直角坐標<math>(x,\ y,\ z)</math>來計算扁球面坐標<math>(\mu,\ \nu,\ \phi)</math>，方位角<math>\phi</math>的公式為
:<math>\tan \phi = \frac{y}{x}</math>。

設定<math>d_1</math>與<math>d_2</math>分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離，以方程式表示為
:<math>d_{1}^{2} = (\sqrt{x^{2}+y^{2}} + a)^{2} + z^{2}</math>、
:<math>d_{2}^{2} = (\sqrt{x^{2}+y^{2}} - a)^{2} + z^{2}</math>。

坐標<math>\mu</math>和<math>\nu</math>的方程式分別為
:<math>\cosh \mu = \frac{d_{1} + d_{2}}{2a}</math>、
:<math>\cos \nu = \frac{d_{1} - d_{2}}{2a}</math>。

===標度因子===
扁球面坐標<math>\mu</math>與<math>\nu</math>的標度因子相等：
:<math>h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}</math>。

方位角<math>\phi</math>的標度因子為
:<math>h_{\phi} = a \cosh\mu \ \cos\nu</math>。

無窮小體積元素是
:<math>dV = a^{3} \cosh\mu \ \cos\nu \ \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi</math>。

[[拉普拉斯算子]]是
:<math>\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} 
\left[
\frac{1}{\cosh \mu} \frac{\partial}{\partial \mu} 
\left( \cosh \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \right) + 
\frac{1}{\cos \nu} \frac{\partial}{\partial \nu}
\left(\cos \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \right)
\right] +
\frac{1}{a^{2} \left( \cosh^{2}\mu\cos^{2}\nu \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
</math>。 

其它微分算子，像<math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math>、<math>\nabla \times \mathbf{F}</math>，都可以用<math>(\mu,\ \nu,\ \phi)</math>坐標表示，只要將標度因子代入在[[正交坐標系]]條目內對應的一般公式。

==第二種表述==
另外有一組有時會用到的扁球面坐標<math>(\zeta,\ \xi,\ \phi)</math>；其中，<math>\zeta = \sinh \mu</math>，<math>\xi = \sin \nu</math><ref>Smythe, 1968。</ref>。<math>\zeta</math>坐標曲面是個扁球面，<math>\xi</math>坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標：
:<math>x = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\cos \phi</math>、
:<math>y = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\sin \phi</math>、
:<math>z = a \zeta \xi</math>。

其中，實數<math>0 \le \zeta < \infty</math>，實數<math>-1 \le \xi < 1</math>，角度<math> - 180^{\circ} \le \phi \le 180^{\circ}</math>。

===標度因子===
扁球面坐標<math>(\zeta,\ \xi,\ \phi)</math>的標度因子分別為：
:<math>h_{\zeta} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1+\zeta^2}}</math>、
:<math>h_{\xi} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1 - \xi^2}}</math>、
:<math>h_{\phi} = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1 - \xi^2)}</math>。

無窮小體積元素是
:<math>dV = a^{3} (\zeta^2+\xi^2)\,d\zeta\,d\xi\,d\phi</math>。

[[拉普拉斯算子]]是
:<math>
\nabla^{2} V =
\frac{1}{a^2 \left( \zeta^2 + \xi^2 \right)}
\left\{
\frac{\partial}{\partial \zeta} \left[ 
\left(1+\zeta^2\right) \frac{\partial V}{\partial \zeta}
\right] + 
\frac{\partial}{\partial \xi} \left[ 
\left( 1 - \xi^2 \right) \frac{\partial V}{\partial \xi}
\right]
\right\}
+ \frac{1}{a^2 \left( 1+\zeta^2 \right) \left( 1 - \xi^{2} \right)}
\frac{\partial^2 V}{\partial \phi^{2}}
</math>。

==第三種表述==
[[File:Oblate_spheroidal_coordinates_full_hyperboloid.png|thumb|350px|right|圖3）第三種扁球面坐標系<math>(\sigma,\ \tau,\ \phi)</math>的三個[[坐標曲面]]。紅色扁球面是<math>\sigma</math>坐標曲面。藍色單葉雙曲面是<math>\tau</math>坐標曲面。黃色半平面是<math>\phi</math>坐標曲面 （黃色半平面與xz-半平面之間的[[二面角]]角度是<math>\phi</math>）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。第三種扁球面坐標系有雙重簡併。這可以從三個坐標曲面的兩個相交點P<sub>1</sub>，P<sub>2</sub>  （以黑色的圓球表示）觀察到。]]

另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系<math>(\sigma,\ \tau,\ \phi) </math><ref>Abramowitz and Stegun, p. 752。</ref>：
:<math>\sigma=\cosh\mu</math>、
:<math>\tau=\cos \nu</math>、
:<math>\phi=\phi</math>。

坐標<math>\sigma</math>必須大於或等於1。坐標<math>\tau</math>必須在正負1之間。<math>\sigma</math>坐標曲面是扁球面。<math>\tau</math>坐標曲面是單葉雙曲面，包含了對應於正負<math>\nu</math>的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併：三維空間的兩點（直角坐標<math>(x,\ y,\ \pm z)</math>映射至一組扁球面坐標系<math>(\sigma,\ \tau,\ \phi)</math>）。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到：
:<math>x = a\sigma\tau \cos \phi</math>、
:<math>y = a\sigma\tau \sin \phi</math>、
:<math>z^{2} = a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)</math>。

坐標<math>\sigma</math>與<math>\tau</math>有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離<math>d_1</math>，最近距離<math>d_2</math>：
:<math>d_{1}+d_{2} = 2a\sigma</math>、
:<math>d_{1} - d_{2}= 2a\tau</math>。

所以，點P與焦圓的最遠距離是<math>a(\sigma+\tau)</math>，點P與焦圓的最近距離是<math>a(\sigma - \tau)</math>。

===坐標曲面===
<math>\sigma</math>坐標曲面是扁球面 ：
:<math>\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sigma^{2}} + \frac{z^{2}}{a^{2} \left(\sigma^{2}  - 1\right)} = 1</math>。

<math>\tau</math>坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 ：
:<math>\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \tau^{2}} - \frac{z^{2}}{a^{2} \left( 1 - \tau^{2} \right)} = 1</math>。

<math>\phi</math>坐標曲面是半個平面 ：
:<math>x\sin\phi - y\cos\phi=0</math>。

===標度因子===
扁球面坐標<math>(\sigma,\ \tau,\ \phi)</math>的標度因子分別為：
:<math>h_{\sigma}=a\sqrt{\frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\sigma^{2} + 1}}</math>、
:<math>h_{\tau}=a\sqrt{\frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}</math>、
:<math>h_{\phi}=a \sigma \tau</math>。

無窮小體積元素是
:<math>dV = a^{3} \sigma \tau \frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\sqrt{\left( \sigma^{2} + 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}} d\sigma d\tau d\phi</math>。

[[拉普拉斯算子]]是
:<math>
\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)}
\left\{
\frac{\partial}{\partial \sigma} \left[ 
\left( \sigma^{2} + 1 \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right] + 
\frac{\partial}{\partial \tau} \left[ 
\left( 1 - \tau^{2} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right]
\right\}
+ \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} + 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
</math>。

其它微分算子，像<math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math>、<math>\nabla \times \mathbf{F}</math>，都可以用<math>(\sigma,\ \tau,\ z)</math>坐標表示，只要將標度因子代入在[[正交坐標系]]條目內對應的一般公式。

如同[[球坐標]]解答的形式為[[球諧函數]]，[[拉普拉斯方程]]可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球'''諧函數'''的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

==參閱==
{{正交坐標系}}

==參考文獻==

{{reflist|2}}

==參考目錄==

===不按照命名常規===
* {{cite book | author = Morse PM, Feshbach H | date = 1953 | title = Methods of Theoretical Physics, Part I | publisher = McGraw-Hill | location = New York | pages = p. 662}}  採用<math>\xi_1=a\sinh\mu</math>、<math>\xi_2=\sin\nu</math>、<math>\xi_3=\cos\phi</math>。

* {{cite book | author = Zwillinger D | date = 1992 | title = Handbook of Integration | publisher = Jones and Bartlett | location = Boston, MA | isbn = 0-86720-293-9 | pages = p. 115}}  如同Morse & Feshbach (1953)，採用<math>u_k</math>來替代<math>\xi_k</math>。

* {{cite book | last = Smythe | first = WR| title = Static and Dynamic Electricity |edition = 3rd ed. | publisher = McGraw-Hill | location = New York | year = 1968}}

* {{cite book | author = Sauer R, Szabó I | date = 1967 | title = Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs | publisher = Springer Verlag | location = New York |  pages = p. 98}}  採用混合坐標<math>\xi=a\sinh\mu</math>、<math>\eta=\sin\nu</math>、<math>\phi=\phi</math>。

===按照命名常規===
* {{cite book | author = Korn GA, Korn TM |date = 1961 | title = Mathematical Handbook for Scientists and Engineers | publisher = McGraw-Hill | location = New York | pages = p. 177}}採用第一種表述<math>(\mu,\ \nu,\ \phi)</math>，又加介紹了簡併的第三種表述<math>(\sigma,\ \tau,\ \phi) </math>。 

* {{cite book | author = Margenau H, Murphy GM | year = 1956 | title = The Mathematics of Physics and Chemistry | publisher = D. van Nostrand | location = New York | pages = p. 182 }}  如同Korn and Korn (1961)，但採用'''餘緯度'''<math>\theta=90^{\circ} - \nu</math>來替代[[緯度]]<math>\nu</math>。

* {{cite book | author = Moon PH, Spencer DE | date = 1988 | chapter = Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ) | title = Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions | edition = corrected 2nd ed., 3rd print ed. | publisher = Springer Verlag | location = New York | isbn = 0-387-02732-7 | pages = pp. 31–34 (Table 1.07)}}  Moon and Spencer採用餘緯度常規<math>\theta=90^{\circ} - \nu</math>，又改名<math>\phi</math>為<math>\psi</math>。

===特異命名常規===
* {{cite book | author = Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP | date = 1984 | title = Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) | edition = 2nd edition | publisher = Pergamon Press | location = New York | isbn = 978-0750626347 | pages = pp. 19–29 }}視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。 

[[Category:坐標系|B]]