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'''戴德金和'''（Dedekind sum）是德國數學家[[理查德·戴德金]]在跟[[戴德金η函數]]有關的工作中提出的。

定義這個[[函數]]，首先要定義<math>((x))</math>：若<math>x</math>是[[整數]]，<math>((x))=0</math>，否則為<math>x-[x]-0.5</math>，其中<math>[x]</math>是最大而又不大於<math>x</math>的整數。

對於非零整數<math>h,k</math>，戴德金和<math>s(h,k)</math>定義為 <math>s(h,k) = \sum_{\mu = 0}^{k-1} ((\frac{\mu}{k})) ((\frac{h \mu}{k}))</math>

若<math>h,k</math>[[互質]]且均大於0，有<math>s(h,k) = \frac{1}{4k} \sum_{\mu=1}^{k-1} \cot\left(\frac{\pi h \mu}{k}\right ) \cot\left(\frac{\pi \mu}{k}\right)</math>

==公式==
* 有[[公因數]]時：<math> s(ch,ck) = s(h,k)</math>
* Petersson-Knopp恆等式：<math>\sum_{d|n} \sum_{m=0}^{d-1} s\left(\frac{n}{d} h + mk, kd\right) = \sigma(n) s(h,k)</math>，<math>\sigma(n)</math>為[[因數函數]]，是<math>n</math>的正因數之和。其中一個較易證明的特例為當<math>p</math>為[[質數]]，<math>(p+1) s(h,k) = s(ph,k) + \sum^{p-1}_{m = 0} s(h+mk,pk)</math>
* 周期性：<math>s(nk+h,k) = s(h,k)</math>
* 若<math>pq \equiv 1 \pmod{k}</math>，<math>s(p,k) = s(q,k)</math>。
* <math>s(1,k) = \frac{(k-1)(k-2)}{12k}</math>
* 若<math>k</math>為[[奇數]]，<math>s(2,k) = \frac{(k-1)(k-5)}{24k}</math>
* 對於<math>k \equiv 1 \pmod{h}</math>，<math>12hk s(h,k)=(k-1)(k-(h^2+1))</math>
* 對於<math>k \equiv 2 \pmod{h}</math>，<math>12hk s(h,k)=(k-2)(k-(h^2+1)/2)</math>
* 對於<math>k \equiv -1 \pmod{h}</math>，<math>12hk s(h,k)=k^2+(h^2-6h+2)k+(h^2+1)</math>
* 互反和：
:: <math>s(h,k)+s(k,h) = - \frac{1}{4} + \frac{1}{12} \left(\frac{h}{k}+\frac{1}{hk}+\frac{k}{h}\right)</math>
==參考==
* https://web.archive.org/web/20070929120859/http://gifted.hkedcity.net/Gifted/Download/notes/0607math2phase/advanced/06-11-4-11-18_dedekind%20sums.pdf
* http://mathworld.wolfram.com/DedekindSum.html {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/DedekindSum.html |date=20200319040611 }}
* http://arxiv.org/abs/math/0112077 {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/math/0112077 |date=20191207074646 }}

[[Category:數論]]