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'''戴德金η函數'''（Dedekind eta function）是定義在上半平面的[[全純函數]]，這是權1/2的[[模形式]]之一例。

[[File:Dedekind Eta.jpg|thumb|500px|η函數的描繪]]
對每個屬於上半平面的複數<math>\tau</math>，置<math>q = e^{2\pi i \tau}</math>，則η函數表為
:<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math>

η函數滿足以下[[函數方程]]：
* <math>\eta(\tau+1) = \exp(\frac{2 \pi i}{24})\eta(\tau)</math>
* <math>\eta(-1/\tau) = \sqrt {\frac{\tau}{i}} \eta(\tau)</math>
此處的根號是方根函數在右半平面的[[解析延拓]]
: <math>re^{i\theta} \mapsto r^{1/2} e^{i\theta/2}, \quad |\theta| < \pi/2 </math>。

一般而言，對<math>a,b,c,d \in \mathbb{Z}, ab-cd=1</math>，我們有
:<math>\eta \left( \frac{a\tau+b}{c\tau+d} \right) =
\epsilon (a,b,c,d) \left( -i(c\tau+d) \right)^{1/2} \eta(z)</math>
其中的[[自守因子]]<math>\epsilon</math>定為
:<math>\epsilon (a,b,c,d)=\exp i\pi \left( \frac{a+d}{12c} + s(-d,c) \right) </math>。
而<math>s(h,k)</math>為[[戴德金和]]
:<math>s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k}
\left( \frac{hn}{k} - \left\lfloor \frac{hn}{k} \right\rfloor -\frac{1}{2} \right)</math>

由此函數方程可知η是權1/2的模形式，因此可由η構造更多的模形式，例如[[卡爾·魏爾施特拉斯|魏爾施特拉斯]]的模判別式即可表為
:<math>\Delta(\tau) = (2 \pi)^{12} \eta(\tau)^{24}</math>。

事實上，由函數方程可知<math>\eta^{24}</math>是權12的模形式，而這類模形式構成複一維[[向量空間]]，比較[[傅里葉展開]]的常數項，上式立可得證。

[[拉馬努金]]有一個著名的猜想：在傅立葉展開式中，對任一素數，的係數的絕對值恆。此猜想最後由[[德利涅]]證明。

上述諸例點出了模形式與若干古典數論問題的聯繫，例如以[[二次型]]表示整數以及[[整數分拆]]問題。赫克算子（英語：Hecke operator）理論闡釋了模形式與數論的關鍵聯繫，同時也聯繫了模形式與[[表示理論]]。

==文獻==
* Tom M. Apostol, ''Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory'' (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0

== 外部連結 == 
*{{Cite web|url =http://kns.cnki.net/kcms/detail/Detail.aspx?dbname=CJFD2013&filename=ZRBT201304010&v=&filetitle=%E6%88%B4%E5%BE%B7%E9%87%91%E5%AF%B9%E7%90%86%E6%83%B3%E8%AE%BA%E7%9A%84%E8%B4%A1%E7%8C%AE|title =戴德金对理想论的贡献|author =王淑红，邓明立|publisher =河北师范大学数学与信息科学学院|language =zh-cn|accessdate =2018-12-29|archive-date =2021-10-04|archive-url =https://web.archive.org/web/20211004005001/https://kns.cnki.net/kcms/detail/Detail.aspx?dbname=CJFD2013&filename=ZRBT201304010&v=&filetitle=%E6%88%B4%E5%BE%B7%E9%87%91%E5%AF%B9%E7%90%86%E6%83%B3%E8%AE%BA%E7%9A%84%E8%B4%A1%E7%8C%AE}}

[[Category:模形式]]