查看“︁悬链线”︁的源代码

[[File:mc_Catenary.png|frame|right|不同的悬链线]]
[[File:Kette Kettenkurve Catenary 2008 PD.JPG|thumb|180px|right|鐵鏈形式的悬链线。]]
[[File:SpiderCatenary.jpg|thumb|180px|right|蜘蛛絲形成多個（近似的）悬链线。]]

'''悬链线（Catenary）'''是一种常用[[曲线]]，物理上用于描绘質量均勻分佈而不可延伸的長鏈悬掛在两支点间，因均勻[[引力]]作用下而形成向下彎曲之曲線，因此而得名。

雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線，但是1638年在[[伽利略]]的《Two New Sciences》中證明因為繩子的張力會隨著吊掛重量的不同，在底端為最小、愈高的地方愈大，如此一來，它所形成的形狀就不是拋物線。

隨後在1670年[[羅伯特·胡克|胡克]]根據力學推導出懸鏈線的數學特性。1691年[[哥特佛萊德·萊布尼茲|萊布尼茲]]、[[克里斯蒂安·惠更斯|惠更斯]]、[[約翰·白努利]]近一步推导出數學模型。

它的公式为：

:<math>y = a\cosh \frac{x}{a}</math>或者简单地表示为<math>y=\frac{a\left(e^\frac{x}{a} + e^{-\frac{x}{a}}\right)}{2}</math>

其中cosh是[[雙曲余弦]]函数，<math>a</math> 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的[[常数]]，<math>x</math>軸為其準線。具体来说，<math>a=\frac{T_0}{g\lambda}</math>，其中<math>g</math>是重力加速度，<math>\lambda</math>是线密度（假设绳子密度均匀），而<math>T_0</math>是绳子上每一点处张力的水平分量，它取决于绳子的悬挂方式；若绳子两端在同一水平面上，则下面的方程决定了<math>a</math>
:<math>\frac{L}{a}=\sinh\frac{d}{a}</math>
其中L是绳子总长的一半，d是端点距离的一半。

== 方程的推导 ==
表达式的证明

如右图，设最低点<math>A</math>处受水平向左的拉力<math>H</math>，右悬挂点处表示为<math>C</math>点，在<math>AC</math>弧线区段任意取一段设为<math>B</math>点，则<math>AB</math>受一个斜向上的拉力<math>T</math>，设<math>T</math>和水平方向夹角为<math>\theta</math>，绳子的质量为<math>m</math>,受力分析有：

<math>T\sin\theta=mg</math>；

<math>T\cos\theta=H</math>，

<math>\tan\theta=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{mg}{H}</math>，

<math>mg=\rho s</math>，　其中<math>s</math>是右段<math>AB</math>绳子的长度，<math>\rho</math>是绳子线重量密度，<math>\tan\theta</math>为切线方向，记<math>a=\frac \rho H</math>, 代入得微分方程<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=a s</math>;

利用弧长公式<math>\mathrm{d}s=\sqrt{1+(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}\mathrm{d}x</math>;

所以<math>s=\int\sqrt{1+(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}\mathrm{d}x</math>;

再把<math>s</math>代入微分方程得<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=a\int\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}{\mathrm{d}x}\ \cdots\cdots\ (1)</math>

对于<math>(1)</math>设<math>p=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math>微分处理

得 <math>p'=\frac{\rho}{H}\sqrt{1+p^2}\ \cdots\cdots\ (2)</math>

其中<math>p'=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}</math>;

对(2)分离常量求积分

<math>\int\frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=\int a dx</math>

得<math>ln(p+\sqrt{1+p^2})=ax+C</math>，即<math>\mathrm{arsinh} p=ax+C</math>

其中<math>\mathrm{arsinh} p</math>为[[反双曲函数]];

当<math>x=0</math>时，<math>\frac{dy}{dx}=p=0</math>；

带入得<math>C=0</math>；

整理得<math>\mathrm{arsinh} p=\frac{\rho x}{H}</math>

== 工程中的应用 ==
[[悬索桥]]、[[双曲拱桥]]、[[架空电缆]]都用到悬链线的原理。
在工程中有一种应用，<math>a</math>称作悬链-{}-系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下：
:<math>y = a\ \left( \cosh \frac{x}{a} -1 \right)</math>
:
还有以下几个公式，可能也有用：
:<math>L = a\ \sinh \frac{x}{a}</math>
:<math>\tan \alpha = \sinh \frac{x}{a}</math>
:<math>F_0 = a\ \gamma</math>
其中<math>L</math>是曲线中某点到0点的链索长度，<math>\alpha</math>是该点的正切角，<math>F_0</math>是0点处的水平张力，<math>\gamma</math>是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。

==參考資料==
{{Reflist}}
==外部連結==
{{Commons category}}
{{EB1911 poster|Catenary}}
{{DEFAULTSORT:C}}
[[Category:微分方程]]
[[Category:指數]]
[[Category:解析幾何]]