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'''Engel展開式'''是一個正[[整數]]數列<math>\{a_1,a_2,a_3,...\}</math>，使得一個正[[實數]]可以以一種唯一的方式表示成[[古埃及分數|埃及分數]]之和：

:<math>x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_1a_2a_3}+...\;</math>

[[有理數]]的展開式是有限的，[[無理數]]的是無限的。Engel 展开式得名于 F. Engel，他在 1913 年研究了它们。

== Engel展开与连分数 ==

Kraaikamp 和 Wu (2004年) 发现 Engel 展开可以被看作是[[连分数]]的上升变体。

:<math>x = \frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\cdots}{\displaystyle a_3}}{\displaystyle a_2}}{\displaystyle a_1}.</math>

== 算法 ==
:<math>u_1=x</math>
:<math>a_k=\left \lceil \frac{1}{u_k} \right \rceil</math>
:<math> u_{k+1}=u_ka_k-1</math>

<math>\left \lceil r \right \rceil</math>表示最小的整數大於或等於<math>r</math>。

若<math>u_i=0</math>，則停止。
=== 例子 ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
! k
! u<sub>k</sub>
! a<sub>k</sub>
! u<sub>k+1</sub>
|-
| 1
| 3/7
| 3
| 2/7
|-
| 2
| 2/7
| 4
| 1/7
|-
| 3
| 1/7
| 7
| 0
|}

<math>\frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{3 \times 4 \times 7}</math>

<math>\{3,4,7\}\;</math>

== 參考 ==
* {{cite conference
  | author = Engel, F.
  | title = Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen
  | booktitle = Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg
  | pages = 190–191
  | year = 1913}}

* {{cite journal
  | author = Kraaikamp, Cor; [[吴军 (1967年)|Wu, Jun]]<!--武汉理工大学教授-->
  | title = On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients
  | journal = Monatshefte für Mathematik
  | year = 2004
  | volume = 143
  | pages = 285–298
  | doi = 10.1007/s00605-004-0246-3}}

== 外部連結 ==
* [https://web.archive.org/web/20061230140632/http://www.research.att.com/~njas/sequences/Sindx_El.html#Engel Engel展開式的例子]

[[Category:数论]]
[[Category:連分數]]