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[[File:Trig functions on unit circle.svg|thumb|{{tsl|en|Pythagorean identity|畢達哥拉斯恆等式}}的視覺證明<!-- Visual proof of the {{tsl|en|Pythagorean identity|}}: for any angle <math>\theta</math>, the point <math>(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)</math> lies on the [[unit circle]], which satisfies the equation <math>x^2 + y^2 =1</math>. Thus, <math>\cos^2\theta + \sin^2\theta =1</math>. -->]]

<!-- [[identity (mathematics)|mathematical identities]] -->'''數學[[恆等式]]列表'''：

== 定義 ==

恒等式（{{lang-en|Identity}} Equation）是指等式[[等号]]两边永远[[相等]]的[[表达式]]。<ref>{{Cite web|title=Definition of IDENTICAL EQUATION|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/identical+equation|access-date=2022-05-17|work=www.merriam-webster.com|language=en|archive-date=2017-08-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20170819071531/https://www.merriam-webster.com/dictionary/identical%2Bequation}}</ref>恒等式的等号可用恒等号（[[≡]]）表示。

==[[乘法公式]]類==

以下是常見的乘法公式：
#[[分配律]]：<math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!</math>
#[[和平方]]：<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!</math>
#*[[三項和平方]]：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!</math>
#[[差平方]]：<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!</math>
#*三數差平方：<math>(a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca\,\!</math>
#[[平方和]]：<math>a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)\,\!</math>
#[[平方差]]：<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!</math>
#[[和立方]]：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!</math>
#[[差立方]]：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!</math>
#[[立方和]]：<math>a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!</math>
#[[立方差]]：<math>a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!</math>
#[[等冪求和]]：<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!</math>
#[[等冪和差]]：<math>a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!</math>
#平方和、平方差延伸：<math>a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab\,\!</math>
#多项式平方：<math>(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\,\!</math>
#三數和立方：<math>(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(a+c)\,\!</math>

== 著名等式 ==

* [[貝祖等式]]：雖然名稱有「等式」一詞，但這是最大公因數的定理，得名於法國數學家艾蒂安·貝祖。
* {{tsl|en|Binomial inverse theorem|二项式逆定理}}：由伍德伯里矩阵恒等式（Woodbury matrix identity）衍生的定理。
* [[二项式定理]]：說明了二項式的冪的代數展開的定理。
* [[婆罗摩笈多-斐波那契恒等式]]：<math>(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2\,\!</math>
* {{tsl|en|Candido's identity|坎迪多等式}}：<math>\left[x^2+y^2+(x+y)^2\right]^2=2[x^4+y^4+(x+y)^4]\,\! </math>
* [[欧拉四平方和恒等式]]：如果两个数都能表示为四个[[平方数]]的和，则这两个数的积也能表示为四个平方数的和。
* {{tsl|en|Degen's eight-square identity|Degen八平方和恆等式}}：如果两个数都能表示为八个[[平方数]]的和，则这两个数的积也能表示为八个平方数的和。
* [[歐拉恆等式]]：{{計算結果|e^(i⋅pi)+1}}，包括虛數單位以及二個超越數的等式。
* {{tsl|en|Cassini and Catalan identities|卡西尼及卡塔蘭恆等式}}：有關斐波那契数列的等式，<math> F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n.</math>。
* {{tsl|en|Heine's identity|海涅恆等式}}：有關平方根倒數函數的傅里叶展開的恆等式。
* {{tsl|en|Hermite's identity|海曼恆等式}}：有關下取整函数（floor）求和的恆等式。
* [[拉格朗日恒等式]]：<math>\| \mathbf a \|^2 \ \| \mathbf b \|^2 - (\mathbf {a \cdot b } )^2 = \sum_{1 \le i < j \le n} \left(a_ib_j-a_jb_i \right)^2 \ , </math>
* [[三角恒等式]]：許多有關三角函數的恒等式。
* {{tsl|en|Enumerator polynomial|}}
* {{tsl|en|Matrix determinant lemma|}}
* [[牛頓恆等式]]：描述了冪和對稱多項式以及初等對稱多項式之間的關係
* [[帕塞瓦尔恒等式]]：<math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx,</math>，“函数的傅里叶系数的平方和”与“函数平方后的积分值”可以直接换算。
* {{tsl|en|Pfister's sixteen-square identity|}}
* {{tsl|en|Sherman–Morrison formula|}}
* {{tsl|en|Sophie Germain identity|}}
* {{tsl|en|Sun's curious identity|}}
* {{tsl|en|Sylvester's determinant identity|}}
* [[范德蒙恒等式]]：<math>\binom {n+m}k = \sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}</math>，是有关[[组合数]]的求和公式。
* {{tsl|en|Woodbury matrix identity|伍德伯里矩阵恒等式}}：<math display="block"> \left(A + UCV \right)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U \left(C^{-1} + VA^{-1}U \right)^{-1} VA^{-1}, </math>

== 函數恆等式 ==
<!-- ==Identities for classes of functions== -->

* {{tsl|en|Exterior calculus identities|}}
* <!-- Fibonacci identities: --> <!-- [[Fibonacci number|Combinatorial Fibonacci identities]] -->[[斐波那契数列]]<!-- and -->和<!-- [[Fibonacci number|Other Fibonacci identities]] -->[[斐波那契数列]]
* {{tsl|en|Hypergeometric function identities|}}
* <!-- [[List of integrals of logarithmic functions]] -->[[对数函数积分表]]
* {{tsl|en|List of topics related to π|}}
* <!-- 页面不存在 -->[[List of trigonometric identities]]
** <!-- [[Inverse trigonometric functions]] -->[[反三角函数]]
* <!-- [[Logarithmic identities]] -->[[对数恒等式]]
* <!-- [[Summation identities]] -->[[求和符号]]
* <!-- [[Vector calculus identities]] -->[[向量恆等式列表]]

== 參見 ==

* {{tsl|en|Lists of mathematics topics|數學主題列表}}
* <!-- [[List of inequalities]] -->[[不等式列表]]
* {{tsl|en|List of set identities and relations|集合和關係列表}}
== 參考資料 ==
{{reflist}}
== 外部連結 ==

* [http://sites.google.com/site/tpiezas/Home 代數恆等式集 A Collection of Algebraic Identities] {{Wayback|url=http://sites.google.com/site/tpiezas/Home |date=20111001021837 }}
* [http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/identity.html 矩陣恆等式 Matrix Identities] {{Wayback|url=http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/identity.html |date=20240123142905 }}
* [https://web.archive.org/web/20180205001304/https://encyclopedia-of-equation.webnode.jp/ Encyclopedia of Equation]:等式的百科词典

{{basic identity}}

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