查看“︁心脏线”︁的源代码

[[File:Cardioid.svg|right|thumb|240px|心脏线]]
[[File:Cardioid animation.gif|right|thumb|300px|一个圆滚动产生的心脏线]]
[[File:Cardioid construction.gif|right|thumb|210px|使用圆和切线生成一个心脏线]]
'''心脏线'''，又稱心形綫，是有一个[[尖点]]的[[外摆线]]。也就是说，一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时，圆上一点的[[轨迹]]就是心脏线。

[[曼德博集合]]中间的图形是心脏线。

== 方程 ==
在[[笛卡儿坐标系]]中，心脏线的[[参数方程]]为：

:<math> x(t) = 2r \cos t  \left (1 - \cos t \right) = 2r \left( \cos t - {1 \over 2} \left (1+ \cos 2 t \right) \right),</math>

:<math> y(t) = 2r \sin t  \left (1 - \cos t \right) = 2r \left( \sin t - {1 \over 2} \sin 2 t \right)</math>

其中''r''是圆的半径。曲线的尖点位于（''r''，0）。

在极坐标系中的方程为： 

:<math> \rho(\theta) = 2r(1 - \cos \theta). \ </math>

== 图像 ==
[[File:CardioidsLabeled.PNG|350px]]
这是四个朝着不同方向的心脏线。

== 面积 ==
方程为

:<math> \rho(\theta) = a(1 - \cos \theta) </math>

的心脏线的[[面积]]为：

:<math> A = {3\over 2} \pi a^2 </math>，证明如下：
:首先，因为函数图像关于<math>x</math>轴对称，所以只要求出当<math>y\geq0</math>时的面积再乘以2即可。
:然后，易知当<math>\theta=0,\pi</math>的时候<math>\rho=0</math>，因此
:<math>A=2\int_0^{\pi}\frac{1}{2}(a(1-\cos\theta))^2d\theta=a^2(\theta-2\sin\theta+\frac{\theta}{2}+\frac{\sin2\theta}{4})\mid^{\pi}_0=\frac{3a^2\pi}{2}</math>

== 参见 ==

* [[外摆线]]

== 参考文献 ==
{{commons category|Cardioids}}
{{reflist}}
{{reflistH}}
* [http://www.cut-the-knot.org/ctk/Cardi.shtml cut-the-knot] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/ctk/Cardi.shtml |date=20210101141245 }}
* Xah Lee, ''[http://www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Cardioid_dir/cardioid.html Cardioid] {{Wayback|url=http://www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Cardioid_dir/cardioid.html |date=20120527174753 }}'' (1998) ''
* Jan Wassenaar, ''[http://www.2dcurves.com/roulette/rouletteca.html Cardioid] {{Wayback|url=http://www.2dcurves.com/roulette/rouletteca.html |date=20201130224844 }}'', (2005)
{{reflistF}}

[[Category:四次曲线]]