查看“︁微分”︁的源代码

{{微積分學}}
{{not|微分学}}
'''函数的微分'''（{{lang-en|Differential of a function}}）是指对[[函数]]的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

微分在数学中的定义：由<math>y</math>是<math>x</math>的函数(<math>y=f(x)</math>)。从简单的平面直角坐标系来看，自变量<math>x</math>的变化量趋近于0时(<math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}</math>)，因变量<math>y</math>的变化量也趋近于0，但<math>x</math>和<math>y</math>的变化量都趋近于0。当<math>x</math>有极小的变化量时，这称为<math>x</math>的微分。

当某些函数<math>\textstyle f</math>的自变量<math>\textstyle x</math>有一个微小的改变<math>\textstyle h</math>时，函数的变化可以分解为两个部分。

一个部分是[[线性变换|线性]]部分：在一维情况下，它[[正比]]于自变量的变化量<math>\textstyle h</math>，可以表示成<math>\textstyle h</math>和一个与<math>\textstyle h</math>无关，只与函数<math>\textstyle f</math>及<math>\textstyle x</math>有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个[[线性映射]]作用在<math>\textstyle h</math>上的值。

另一部分是比<math>\textstyle h</math>更高阶的[[无穷小]]，也就是说除以<math>\textstyle h</math>后仍然会趋于零。当改变量<math>\textstyle h</math>很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在<math>\textstyle x</math>处的'''微分'''，记作<math>\displaystyle f'(x)h</math>或<math>\displaystyle \textrm{d}f_x(h)</math>。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。

在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量<math>\textstyle h</math>映射到变化量的线性部分的线性映射<math>\displaystyle \textrm{d}f_x</math>。这个映射也被称为'''切映射'''。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。

== 一元微分 ==

=== 定义 ===
[[File:Dydx_zh.svg|thumb|350px|函数在一点的微分。其中红线部分是微分量<math>\textrm{d}y</math>，而<math>\textrm{d}y</math>加上灰线部分后是实际的改变量<math>\Delta y</math>]]
设[[函数]]<math>y = f(x)</math>在某[[区间]]<math>\mathcal{I}</math>内有定义。对于<math>\mathcal{I}</math>内一点<math>x_{0}</math>，当<math>x_{0}</math>变动到附近的<math>x_{0}+\Delta x</math>（也在此区间内）时，如果函数的'''增量'''<math>\Delta y = f(x_{0}+ \Delta x) - f(x_{0})</math>可表示为
<math>\Delta y = A \Delta x + o( \Delta x)</math>（其中<math>A</math>是不依赖于<math>\Delta x</math>的[[常数]]），而<math>o( \Delta x)</math>是比<math>\Delta x</math>高阶的[[无穷小]]，那么称函数<math>f(x)</math>在点<math>x_{0}</math>是[[可微]]的，且<math>A \Delta x</math>称作函数在[[点]]<math>x_{0}</math>相应于自变量增量<math>\Delta x</math>的微分，记作<math>\textrm{d}y</math>，即<math>\textrm{d}y = A \Delta x</math>，<math>\textrm{d}y</math>是<math>\Delta y</math>的'''线性主部'''。{{r|fdfx|page=141}}

通常把自变量<math>x</math>的增量<math>\Delta x</math>称为自变量的微分，记作<math>\textrm{d}x</math>，即<math>\textrm{d}x = \Delta x</math>。

===和导数的关系===
微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念{{r|fdfx|page=141}}。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分<math>\textrm{d}x</math>，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的[[导数]]。因此，导数也叫做'''微商'''。于是函数<math>y = f(x)</math>的微分又可记作<math>\textrm{d}y = f'(x)\textrm{d}x</math><ref>{{cite journal|title =「可微」還是「可導」？|url =http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v16/10LeungCK_diff.pdf|author =梁子杰|journal =數學教育|volume =第十六期}}{{dead link|date=2017年12月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>。

=== 几何意义 ===
设<math>\Delta x</math>是[[曲线]]<math>y = f(x)</math>上的点<math>P</math>在横坐标上的增量，<math>\Delta y</math>是[[曲线]]在点<math>P</math>对应<math>\Delta x</math>在纵坐标上的增量，<math>\textrm{d}y</math>是曲线在点<math>P</math>的[[切线]]对应<math>\Delta x</math>在纵坐标上的增量。当<math>\left| \Delta x \right|</math>很小时，<math>\left| \Delta y - \textrm{d}y \right|</math>比<math>\left| \Delta x \right|</math>要小得多(高阶无穷小)，因此在点<math>P</math>附近，我们可以用[[切线|切线段]]来近似代替曲线段。

===例子===
设有函数<math>f : x \mapsto x^2</math>，考虑它从某一点<math>x</math>变到<math>x + \textrm{d}x</math>。这时，函数的改变量<math>f(x +\textrm{d} x) - f(x)</math>等于：
:<math>f(x+\textrm{d} x) - f(x)= (x + \textrm{d} x)^2 - x^2 </math>
:<math>= 2x \cdot \textrm{d}x + (\textrm{d}x)^2 = A\textrm{d}x + o(\textrm{d}x)</math>
其中的线性主部：<math>Adx = 2xdx</math>，高阶无穷小是<math>o(\textrm{d}x)= (\textrm{d}x)^2</math>。
因此函数<math>\textstyle f</math>在点<math>\textstyle x</math>处的微分是<math>\textrm{d}y = 2x\textrm{d}x</math>。函数的微分与自变量的微分之商<math>\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} = 2x = f^{\prime}(x)</math>，等于函数的导数。

:<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(ax^n)}{\mathrm{d}x}</math>，尤其<math>y=ax^n</math>
:<math>=nax^{(n-1)}</math>

以下有一例子：
當方程式為<math>y=2x^2</math>時，就會有以下的微分過程。
:<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math>
:<math>=\frac{\mathrm{d}2x^2}{\mathrm{d}x}</math>
:<math>=2 \cdot 2x^{(2-1)}</math>
:<math>=4x</math>

===微分法则===
和求导一样，微分有类似的法则。例如，如果设函数<math>u</math>、<math>v</math>可微，那么：
*<math>\mathrm{d}(au + bv) =\mathrm{d}au+\mathrm{d}bv= a\mathrm{d}u + b\mathrm{d}v</math>
*<math>d(uv) = udv + vdu</math>
*<math>d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vdu - udv}{v^2}</math>
*若函数<math>y(u)</math>可导，那么<math>d[y(u)] = y'(u)du</math>{{r|fdfx|page=139}}
===极值===
{{主条目|极值}}

==多元函数微分==
{{main|全微分}}
当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的[[偏导数]]，但偏導數只對單一自變量微分），但仍然有微分的概念。

===定义===
设<math>f</math>是从[[欧几里得空间]]'''R'''<sup>n</sup>（或者任意一个[[内积空间]]）中的一个[[开集]]<math>\Omega</math>射到'''R'''<sup>m</sup>的一个函数。对于<math>\Omega</math>中的一点<math>x</math>及其在<math>\Omega</math>中的[[邻域]]<math>\Lambda</math>中的点<math>x+h</math>。如果存在线性映射<math>A</math>使得对任意这样的<math>x+h</math>,
: <math>\lim_{h \to 0} \left( \frac{|f (x+h) - f(x) - A(h)|}{|h|} \right) = 0</math>
那么称函数<math>f</math>在点<math>x</math>处可微。线性映射<math>A</math>叫做<math>f</math>在点<math>x</math>处的微分，记作<math>\textrm{d}f_x</math>。

如果<math>f</math>在点<math>x</math>处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做'''全微分'''或'''全导数'''。

当函数在某个区域的每一点<math>x</math>都有微分<math>\textrm{d}f_x</math>时，可以考虑将<math>x</math>映射到<math>\textrm{d}f_x</math>的函数：
: <math>\textrm{d}f : x \mapsto \textrm{d}f_x</math>
这个函数一般称为'''微分函数'''<ref>{{cite web | title=微分函数 | url=http://webcai.math.fcu.edu.tw/calculus/calculus_html/3-2/function.htm | publisher=逢甲大学网路教学实验室 | access-date=2009-12-24 | archive-url=https://web.archive.org/web/20100507154935/http://webcai.math.fcu.edu.tw/calculus/calculus_html/3-2/function.htm | archive-date=2010-05-07 | dead-url=no }}</ref>。

===性质===
*如果<math>f</math>是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
*在'''R'''<sup>n</sup>（或定义了一组标准基的[[内积空间]]）裡，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过[[雅可比矩阵]]刻画：
:设<math>f</math>是从'''R'''<sup>n</sup>射到'''R'''<sup>m</sup>的函数，<math>f = (f_1, f_2, \cdots , f_m)</math>，那么：
:<math>\textrm{d}f_x = J_f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}</math>。
具体来说，对于一个改变量：<math>h = (h_1, h_2, \ldots , h_n) = \sum_{i=1}^n h_i e_i</math>，微分值：
:<math>\textrm{d}f_x(h) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \begin{pmatrix}
h_1 \\
\vdots \\h_n
\end{pmatrix} = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} h_j\right) e_i</math>
*可微的必要条件：如果函数<math>f</math>在一点<math>x_0</math>处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素<math>\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)</math>都存在，但反之不真{{r|qhfx2|page=76}}。
*可微的充分条件：如果函数<math>f</math>在一点<math>x_0</math>的雅克比矩阵的每一个元素<math>\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)</math>都在<math>x_0</math>连续，那么函数在这点处可微，但反之不真{{r|qhfx2|page=77}}。

===例子===
函数<math> f : (x, y) \mapsto \left(x^2 + y^2, (1 - x^2 - y^2)x -y, x - (1 - x^2 - y^2)y \right)</math>是一个从<math>\mathbb{R}^2</math>射到<math>\mathbb{R}^3</math>的函数。它在某一点<math>(x, y)</math>的雅可比矩阵为：
:<math>J_f(x,y) = \begin{bmatrix} 2x & 2y \\
1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\
1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix} </math>
微分为：<math>\textrm{d}f_{(x, y)} : h \mapsto J_f(x,y)(h)</math>，也就是：
:<math>\textrm{d}f_{(x, y)} : h = \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 2x & 2y \\
1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\
1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2xh_1 + 2yh_2 \\
(1 - 3x^2 - y^2)h_1 -(2xy +1)h_2 \\
(1 + 2xy)h_1 -(1 - x^2 - 3y^2)h_2 \end{pmatrix}</math>

==微分与微分形式==
{{main|微分形式}}
如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点<math>x</math>给出一个近似描述函数性质的线性映射<math>\textrm{d}f_x</math>，而微分形式对区域<math>\mathbf{D}</math>内的每一点给出一个从该点的[[切空间]]映射到值域的[[多线性形式|斜对称形式]]：<math>\omega(x):\mathbf{TD}_x \longrightarrow \mathbb{R}</math>。在坐标记法下，可以写成：
:<math>\omega(x) = \sum_{1 \le i_1 \le \cdots \le i_k \le n} a_{i_1 \cdots i_k}(x) \textrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \textrm{d}x^{i_k}</math>
其中的<math>\textrm{d}x^{i}</math>是<math>i</math>-射影算子，也就是说将一个向量<math>v</math>射到它的第<math>i</math>个分量<math>v^{i}</math>的映射。而<math>\textrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \textrm{d}x^{i_k}</math>是满足：
:<math>\textrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \textrm{d}x^{i_k}(v_{1}, \cdots v_{k}) = \begin{vmatrix} v_{1}^{i_1} & \cdots & v_{1}^{i_k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{k}^{i_1} & \cdots & v_{k}^{i_k} \end{vmatrix}</math>
的''k''-形式。

特别地，当<math>f</math>是一个从'''R'''<sup>n</sup>射到'''R''' 的函数时，可以将<math>\textrm{d}f_x</math>写作：
: <math>\textrm{d}f_x = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) \textrm{d}x^{i}</math>
正是上面公式的一个特例<ref>{{cite book|title = 《数学分析》第二卷 |url = https://archive.org/details/shuxuefenxi0002zhuo |author = B.A.卓里奇 著，蒋铎、钱佩玲、周美珂、邝荣雨 译| publisher = 高等教育出版社 |year = 2006 |isbn = 978-7-040-20257-1}}第175-183页.</ref>。

==参见==
*[[微分学]]
*[[微积分]]
*[[导数]]
*[[积分]]
*[[偏导数]]
*[[外微分]]
*[[泰勒公式]]

==参考来源==
{{reflist|refs = 
<ref name="fdfx">{{cite book | title =《数学分析（上册）》 | author =欧阳光中 姚允龙 周渊 编 | year =2003 |publisher =复旦大学出版社 | isbn =7309035704}}</ref>
<ref name="qhfx2">{{cite book | title =《数学分析(第二册)》| author =徐森林,薛春华 |publisher =清华大学出版社 |year =2005 | isbn =978-7-302-13141-0}}</ref>
 梁子傑. 「可微」還是「可導」？http://www.hkame.org.hk/uploaded_files/magazine/16/291.pdf
}}
*{{cite book|title=《重温微积分》 |author= 齐民友|publisher=高等教育出版社 |year=2004 |isbn=7-040-12931-0}}
*{{cite book|title=《数学分析原理》(''Principles of Mathematical Analysis'') |author= Walter Rudin|publisher=Mcgraw-hill Book Company |year=1976 |isbn=978-0-070-54235-8}}
{{Authority control}}
[[Category:微分学]]