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'''径向基函数'''（{{lang-en|Radial basis function}}，缩写为'''RBF'''）是一个取值仅依赖于到[[原点]]距离的{{le|实值函数|Real-valued function}}，即<math>\phi(\mathbf{x}) = \phi(\|\mathbf{x}\|)</math>。此外，也可以按到某一中心点''c''的距离来定义， 即<math>\phi(\mathbf{x}, \mathbf{c}) = \phi(\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\|)</math>。任一满足<math>\phi(\mathbf{x}) = \phi(\|\mathbf{x}\|)</math>的函数都可称作径向函数。其中，[[范数]]一般为[[欧几里得距离]]，不过亦可使用其他[[距离函数]]。

可以用于许多向函基数的和来逼近某一给定的函数。这一逼近的过程可看作是一个简单的[[神经网络]]。<ref>[http://www.anc.ed.ac.uk/rbf/intro/node8.html Radial Basis Function networks] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140423232029/http://www.anc.ed.ac.uk/rbf/intro/node8.html |date=2014-04-23 }}</ref><ref>{{cite journal |first = David H. |last = Broomhead |first2 = David |last2 = Lowe |title = Multivariable Functional Interpolation and Adaptive Networks |journal = Complex Systems |volume = 2 |pages = 321–355 |year = 1988 |url = https://www.complex-systems.com/pdf/02-3-5.pdf |archiveurl = https://web.archive.org/web/20140714173428/https://www.complex-systems.com/pdf/02-3-5.pdf |archivedate = 2014-07-14 |ref = harv }}</ref>此外在[[机器学习]]中，径向基函数还被用作[[支持向量机]]的[[径向基函数核|核函数]]。

== 类型 ==
常见的径向基函数包括（定义<math>r = \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_i\|</math>）：

* [[高斯函数]]：
::<math>\phi(r) = e^{-(\varepsilon r)^2}</math>
* 多二次函数（multiquadric）：
:<math>\phi(r) = \sqrt{1 + (\varepsilon r)^2} </math>
* 逆二次函数（inverse quadratic）：
::<math>\phi(r) = \frac{1}{1+(\varepsilon r)^2} </math>
* 逆多二次函数（inverse multiquadric）：
::<math>\phi(r) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\varepsilon r)^2}} </math>
* 多重调和样条（polyharmonic spline）：
::<math>\phi(r) = r^k,\; k=1,3,5,\dots</math>
::<math>\phi(r) = r^k \ln(r),\; k=2,4,6,\dots </math>
* 薄板样条（thin plate spline，为多重调和样条的特例）：
::<math>\phi(r) = r^2 \ln(r)</math>

== 参见 ==
* [[径向基函数网络]]
* [[径向基函数核]]
* [[Kansa方法]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

[[Category:人工神经网络]]
[[Category:插值论]]
[[Category:数值分析]]