查看“︁弱微分”︁的源代码

在[[数学]]中，'''弱微分'''（Weak Derivative）是一个[[函数]]的[[微分]]（强微分）概念的推广，它可以作用于那些[[勒贝格可积]]（Lebesgue Integrable）的函数，而不必预设函数的[[可微]]性（事实上大部分可以弱微分的函数并不可微）。一个典型的[[勒贝格可积]]函数的空间是<math>L^1([a, b])</math>。在[[分布]]中，可以定义一个更一般的微分概念。

== 定义 ==

令<math>u</math>是一个在<math>L^1([q,p])\ </math>中的勒贝格可积的函数，称<math>v \in L^1([q,p])</math>是<math>u</math>的一个''弱微分''，如果

:<math>\int^p_q u(t)\varphi'(t)dt=-\int^p_q v(t)\varphi(t)dt</math>

其中<math>\varphi</math>是任意一个[[连续可微]]的函数，并且满足<math>\varphi(p)=\varphi(q)=0</math>。

推广到<math>n</math>维的情形，如果<math>u</math>和<math>v</math>是<math>L_{loc}^1(U)</math>中的函数（在某个[[开集]]<math>U \subset \mathbb{R}^n</math>中[[局部可积]]），并且<math>\alpha</math>是一个[[多重指标]]，那么<math>v</math>称为<math>u</math>的<math>\alpha</math>次弱微分，如果

:<math>\int_U u D^{\alpha}\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_U v\varphi</math>

其中<math>\varphi\in C^{\infty}_c (U)</math>是一个任意给定的函数，即给定的[[支撑集]]含于<math>U</math>的[[无穷可微]]的函数。

如果<math>u</math>的弱微分存在，一般被记为<math>D^{\alpha}u</math>。可以证明，一个函数的弱微分在测度意义是唯一的，即如果有两个不同的弱微分，其仅可能在一个[[零测集]]上存在差异。

== 例子 ==
函數 <math>u:[-1,1]\to [0,1]:t\mapsto u(t)=|t|</math> 在 <math>t=0</math> 並不可微，但具有以下被稱為符號函數的弱微分：
:<math> v :[-1,1]\to [-1,1]:t\mapsto v(t)= \begin{cases} 1 \quad & \textrm{ if }\, t > 0 \\ 0 \quad & \textrm{ if } \, t=0 \\ -1  \quad & \textrm{ if }\, t < 0 \\ \end{cases} </math>

== 性质 ==

如果两个函数是相同函数的弱导数，那么它们除了在一个[[勒贝格测度]]为零的集合上以外相等，也就是说，它们[[几乎处处]]相等。如果我们考虑函数的等价类，其中两个函数是等价的如果它们几乎处处相等，那么弱导数是唯一的。

此外，如果''u''是可微的，那么它的弱导数与导数相同。因此弱导数是导数的推广。更进一步，两个函数的和与积的导数公式对弱导数也是成立的。

== 参见 ==
*[[次导数]]

== 参考文献 ==
* {{Cite book | author=Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. | authorlink= | coauthors= | title=Elliptic partial differential equations of second order | date=2001 | publisher=Springer | location=Berlin  | isbn=3-540-41160-7 | page=149}}
*{{Cite book | author=Evans, Lawrence C. | authorlink= | coauthors= | title=Partial differential equations | url=https://archive.org/details/partialdifferent00evan | date=1998 | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I.  | isbn=0-8218-0772-2 | page=[https://archive.org/details/partialdifferent00evan/page/n247 242]}}
* {{Cite book | author=Knabner, Peter; Angermann, Lutz | authorlink= | coauthors= | title=Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations | date=2003 | publisher=Springer | location=New York  | isbn=0-387-95449-X | page=53}}

[[Category:泛函分析|R]]
[[Category:导数的推广]]