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'''弱*拓撲'''是[[賦範向量空間]]的[[對偶空間]]上的一種[[拓撲]]。弱*拓撲的的重要性，在於它使得[[單位球]]是[[緊集]]（[[巴拿赫-阿勞格魯定理]]）；相反地在[[線性算子]]範數誘發的拓撲中，單位球未必[[緊緻]]。（結果成立當且僅當賦範向量空間為有限維。）

==定義==
在域<math>\mathbb K</math>（<math>\mathbb K</math>是<math>\mathbb R</math>或<math>\mathbb C</math>）上的賦範空間<math>E</math>中，每一個元素<math>x</math>，都可以定義對偶空間<math>E^*</math>上的一個線性算子<math>\hat{x}(f) := f(x)</math>。弱*拓撲是在<math>E^*</math>上最弱的拓撲，使得所有這樣的<math>\hat x:E^* \to \mathbb K</math>都是[[連續]]的。

弱*拓撲可以更具體的定義，在<math>E^*</math>上給出它的[[鄰域基]]：對任何<math>f\in E^*</math>，集合
:<math>U_f(x_1,\ldots,x_n,\epsilon) := \{g\in E^*; |f(x_j) - g(x_j)| < \epsilon, j=1,\ldots,n\}</math>
其中<math>x_1,\ldots,x_n\in E, n\in {\mathbb N}</math>，<math>\epsilon > 0</math>，是<math>f</math>的弱*開的鄰域基。

==收斂==
弱*拓撲的[[收斂]]條件很簡單：[[序列]]<math>(f_n)_{n \in {\mathbb N}}</math>在弱*拓撲中收斂，如果對任何<math>x \in E</math>都有<math>\lim_{n\to\infty}f_n(x) = f(x)</math>，即<math>f_n</math>[[逐點收斂]]到<math>f</math>。弱*收斂記作<math>f_n \overset{*}{\rightharpoonup} f</math>。

弱*收斂性比依範數收斂性弱。如果<math>\| f - f_n \| \to 0</math>，其中<math>\| \cdot \|</math>是<math>E^*</math>的範數，則<math>f_n</math>必然逐點收斂於<math>f</math>，因而有<math>f_n \overset{*}{\rightharpoonup} f</math>；但是，<math>f_n \overset{*}{\rightharpoonup} f</math>不一定有<math>\| f - f_n \| \to 0</math>，甚至可能<math>\| f_n \| \nrightarrow \|f\|</math>。

==半範數==
對偶空間<math>E^*</math>加上弱*拓撲是一個[[局部凸]]空間，因此可以由給予<math>E^*</math>一個半範數的系統定義弱*拓撲。對<math>x_1,\ldots,x_n\in E, n\in {\mathbb N}</math>，
:<math>p_{x_1,\ldots x_n}(f) := \max\{|f(x_1)|,\ldots,|f(x_n)|\}</math>,
構成這樣一個半範數的系統。

==參考==
K. Floret, J. Wloka: ''Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume'', Lecture Notes in Mathematiks 56, 1968

[[Category:泛函分析|R]]