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在[[数学]]中，'''张量积'''，记为 <math>\otimes</math>，可以应用于不同的上下文中如[[向量]]、[[矩阵]]、[[张量]]、[[向量空间]]、[[代数]]、[[拓扑向量空间]]和[[模]]。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的[[双线性算子|双线性运算]]。在某些上下文中也叫做[[外积]]。

'''例子:'''

:<math>
\mathbf{b} \otimes \mathbf{a}
\rightarrow
\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end{bmatrix}  
\begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4\end{bmatrix}</math>

结果的[[秩 (線性代數)|秩]]为2、维数为 4&times;3 = 12。

这里的秩指的是“张量秩”（所需[[指标]]数），而维数计算在结果数组(阵列)中自由度的数目；矩阵的秩是 2。

代表情况是任何两个被当作矩阵的矩形数组的[[克罗内克积]]。在同维数的两个向量之间的张量积的特殊情况是[[并矢积]]。

== 两个张量的张量积 ==

有两个（或更多）'''张量积'''的分量的一般公式。例如，如果 ''U'' 和 ''V'' 是秩分别为 ''n'' 和 ''m'' 的两个[[协变]]张量，则它们的张量积的分量给出为
:<math>(V\otimes U)_{i_1i_2\dots i_{m+n}} = V_{i_1i_2i_3\dots i_n}U_{i_{n+1}i_{n+2}\dots i_{n+m}}</math>。<ref>
类似的公式对[[向量的共变和反变|反变]]以及混合型张量也成立。尽管许多情形，比如定义了一个[[内积]]，这种区分是无关的。</ref>

所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。

注意在张量积中，因子 ''V'' 消耗前 rank(''V'') 個指标，而因子 ''U'' 再消耗 rank(''U'') 個指标，所以
:<math>\mathrm{rank}( V \otimes U )=\mathrm{rank}(V)+\mathrm{rank}(U)</math>

===例子===

设 '''U''' 是类型 (1,1) 的张量，带有分量 ''U<sup>α</sup><sub>β</sub>''；并设 '''V''' 是类型 (1,0) 的张量，带有分量 ''V<sup>γ</sup>''。则
:<math> U^\alpha {}_\beta V^\gamma = (U \otimes V)^\alpha {}_\beta {}^\gamma </math>
而
:<math> V^\mu U^\nu {}_\sigma = (V \otimes U)^{\mu \nu} {}_\sigma </math>。

张量积继承它的因子的所有指标。

==两个矩阵的克罗内克积==
{{main|克罗内克积}}

对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积，用来明确结果有特定[[分块矩阵|块结构]]在其上，其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵 <math>U</math> 和 <math>V</math>:

:<math>U \otimes V
        = \begin{bmatrix} u_{11}V & u_{12}V & \cdots \\
                          u_{21}V & u_{22}V \\
                          \vdots  &         & \ddots
          \end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix}
       u_{11}v_{11} & u_{11}v_{12} & \cdots & u_{12}v_{11} & u_{12}v_{12} & \cdots \\
       u_{11}v_{21} & u_{11}v_{22} &        & u_{12}v_{21} & u_{12}v_{22} \\
       \vdots       &              & \ddots \\
       u_{21}v_{11} & u_{21}v_{12} \\
       u_{21}v_{21} & u_{21}v_{22} \\
       \vdots
   \end{bmatrix}</math>。

==多重线性映射的张量积==

给定[[多重线性映射]] <math>f(x_1,\dots,x_k)</math> 和 <math>g(x_1,\dots,x_m)</math>
它们的张量积是多重线性函数
:<math> (f \otimes g) (x_1,\dots,x_{k+m})=f(x_1,\dots,x_k)g(x_{k+1},\dots,x_{k+m})</math>

==向量空间的张量积==

在域 <math>K</math> 上的两个[[向量空间]] ''V'' 和 ''W'' 的张量积 <math>V \otimes W</math> 有通过“生成元和关系”的方法的形式定义。在这些 <math>(v,w)</math> 的关系下的等价类被叫做“张量”并指示为 <math>v \otimes w</math>。通过构造，可以证明在张量之间的多个恒等式并形成张量的代数。

要构造 <math>V \otimes W</math>，采用在 <math>K</math> 之上带有基 <math>V \times W</math> 的向量空间，并应用（因子化所生成的子空间）下列多线性关系:

* <math>(v_1+v_2)\otimes w=v_1\otimes w+v_2\otimes w</math>
* <math>v\otimes (w_1+w_2)=v\otimes w_1+v\otimes w_2</math>
* <math>cv\otimes w=v\otimes cw=c(v\otimes w)</math>

这里的 <math>v,v_i,w,w_i</math> 是来自适当空间的向量，而 <math>c</math> 来自底层域 <math>K</math>。

我们可以推出恒等式

:<math>0v\otimes w=v\otimes 0w=0(v\otimes w)=0</math>，

零在 <math>V \otimes W</math> 中。

结果的张量积 <math>V \otimes W</math> 自身是向量空间，它可以直接通过向量空间公理来验证。分别给定 ''V'' 和 ''W'' 基 <math>\{v_i\}</math> 和 <math>\{w_i\}</math>，形如 <math>v_i \otimes w_j</math>
的张量形成 <math>V \otimes W</math> 的基。张量积的维数因此是最初空间维数的积；例如 <math>\mathbb{R}^m \otimes \mathbb{R}^n</math> 有维数 <math>mn</math>。

==张量积的泛性质==

张量积可以用[[泛性质]]来刻画。考虑通过双线性映射 ''φ'' 把笛卡尔积 ''V'' &times; ''W'' 嵌入到向量空间 ''X'' 的问题。张量积构造 ''V'' ⊗ ''W'' 与给出自

:<math>\phi (u,w)=  u \otimes w </math>
 
的自然嵌入映射 ''φ'' : ''V'' &times; ''W'' → ''V'' ⊗ ''W'' 一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对(''X'', ''ψ'')，这里的 ''X'' 是向量空间，而 ψ 是双线性映射 ''V'' &times; ''W'' →  ''X''，则存在一个唯一的线性映射

:<math>T : V \otimes W \rightarrow X</math> 

使得

:<math>\psi = T \circ \phi</math>。

假定这个泛性质，张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。

直接推论是从 ''V'' &times; ''W'' 到 ''X'' 的双线性映射 

:<math>B(V \times W, X)</math> 

和线性映射

:<math>L(V \otimes W, X)</math>

的同一性。它是 ''ψ'' 到 ''T'' 的自然同构映射。

==希尔伯特空间的张量积==

两个[[希尔伯特空间]]的张量积是另一个希尔伯特空间，其定义如下。

===定义===

设 <math>H_1</math> 和 <math>H_2</math> 是两个[[希尔伯特空间]]，分别带有内积 <math>\langle \cdot,\cdot\rangle_1</math> 和 <math>\langle \cdot,\cdot\rangle_2</math>。构造 ''H''<sub>1</sub> 和''H''<sub>2</sub> 的张量积<math>H_1\hat\otimes H_2</math>如下：

考虑他们的作为线性空间的张量积<math>H=H_1\otimes H_2</math>。<math>H_1</math> 和 <math>H_2</math>上的内积自然地扩展到<math>H</math>上：

由内积的双线性（Bilinearity），只需定义
: <math>\langle\phi_1\otimes\phi_2,\psi_1\otimes\psi_2\rangle = \langle\phi_1,\psi_1\rangle_1 \cdot \langle\phi_2,\psi_2\rangle_2 </math> 
其中 <math> \phi_1,\psi_1 \in H_1 </math> 和 <math> \phi_2,\psi_2 \in H_2 </math>
即可。

现在<math>H</math>是一未必完备的内积空间。将<math>H</math>完备化，得到希尔伯特空间<math>H_1\hat\otimes H_2</math>，这就是 ''H''<sub>1</sub> 和 ''H''<sub>2</sub>作为希尔伯特空间的张量积。在希尔伯特空间的[[範疇 (數學)|范畴]]中，<math>H_1\hat\otimes H_2</math>具有如前所述的[[泛性质]]，即它是二者在该范畴内的乘积。

===性质===

如果 ''H''<sub>1</sub> 和 ''H''<sub>2</sub> 分别有[[正交基]] {φ<sub>''k''</sub>} 和 {ψ<sub>''l''</sub>}，则 {φ<sub>''k''</sub>&nbsp;⊗&nbsp;ψ<sub>''l''</sub>} 是 ''H''<sub>1</sub>&nbsp;⊗&nbsp;''H''<sub>2</sub> 的正交基。

== 与对偶空间的关系 ==

在泛性质的讨论中，替代 ''X'' 为 ''V'' 和 ''W'' 的底层标量域生成空间 <math> (V \otimes W)^\star</math>（<math>V \otimes W</math> 的[[对偶空间]]，包含在那个空间上的所有线性[[泛函]]），它自然的同一于在 <math>V \times W</math> 上所有双线性函数的空间。换句或说，所有双线性泛函是在张量积上的泛函，反之亦然。

只要 <math>V</math> 和 <math>W</math> 是有限维的，在 <math> V^\star \otimes W^\star </math> 和 <math>(V \otimes W)^\star</math> 之间有一个自然的[[同构]]，而对于任意维的向量空间我们只有一个包含 <math>V^\star \otimes W^\star\subset (V \otimes W)^\star</math>。所以线性泛函的张量是双线性泛函。这给我们一种新看法，把双线性泛函看做张量积自身。

==注解==
<references/>

==参见==
*[[外积]]
*[[并矢积]]
*[[張量積模型變換]]
{{張量}}

[[Category:二元运算|Z]]
[[Category:张量]]
[[Category:多重线性代数|Z]]
[[Category:双线性算子]]