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{{noteTA
|T=zh-cn:弗勒内-塞雷公式
}}
[[Image:frenet.png|thumb|300px|right|空间曲线的切向量 '''T'''，法向量 '''N''' 和副法向量 '''B'''；以及切向量和法向量张成的[[密切平面]]。]]

在[[向量微积分]]中，'''弗勒内-塞雷公式'''（'''Frenet–Serret 公式'''）用来描述[[欧几里得空间]]'''R'''<sup>''3''</sup>中的粒子在连续可微[[曲线]]上的运动。更具体的说，弗勒内公式描述了曲线的'''切向，法向，副法方向'''之间的关系。这一公式由法国数学家[[让·弗雷德里克·弗勒内]]（于1847年的博士论文中）和[[约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷]]（于1851年）分别提出。

单位切向量 '''T'''，单位法向量 '''N'''，单位副法向量 '''B'''，被称作 '''弗勒内标架'''，他们的具体定义如下：
* '''T''' 是单位[[切向量]]，方向指向粒子运动的方向。
* '''N''' 是切向量 '''T''' 对[[弧长参数]]的微分单位化得到的向量。
* '''B''' 是 '''T''' 和 '''N''' 的[[外积]]。

弗勒内公式如下：
:<math>
\begin{aligned}
\dfrac{d\mathbf{T}}{ds} &= \kappa\mathbf{N}, \\
\dfrac{d\mathbf{N}}{ds} &= -\kappa\mathbf{T}+\tau\mathbf{B},\\
\dfrac{d\mathbf{B}}{ds} &= -\tau\mathbf{N},
\end{aligned}
</math>
其中''d''/''ds'' 是对弧长的微分， κ 为曲线的[[曲率]]，τ 为曲线的[[挠率]]。弗勒内公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。

==弗勒内公式==
[[Image:FrenetTN.svg|thumb|right|350px|平面曲线上的亮点的切向量和法向量，以及标架在运动过程中的旋转。]]

记'''r'''(t) 为[[欧式空间]]'''R'''<sup>''3''</sup>中的[[曲线]]，表示粒子在时间 t 时刻的[[位置向量]]。 弗勒内公式只适用于正则曲线，即[[速度]]向量'''r'''&prime;(t)和[[加速度]]向量'''r'''&prime;&prime;(t)不为零的曲线。

记 ''s(t)'' 为 ''t''时刻粒子所在位置到曲线上某定点的[[弧长]]：
:<math>s(t)=\int_0^t \|\mathbf{r}'(\tau)\|d\tau.</math>
由于假设'''r'''&prime; ≠ 0，因此可以将 ''t'' 表示为 ''s'' 的函数，因此可将曲线表示为弧长 ''s'' 的函数 '''r'''(s) = '''r'''(''t''(''s''))。 ''s'' 通常也被称为曲线的弧长参数。

对于由弧长参数定义的正则曲线 '''r'''(''s'')，'''弗勒内标架''' (或'''弗勒内基底''')定义如下：
* 单位切向量 '''T'''： 
::<math> \mathbf{T} = {d\mathbf{r} \over ds}. \qquad \qquad (1) </math>
* 主法向量 '''N'''：
::<math> \mathbf{N} = {\frac{d\mathbf{T}}{ds} \over \left\| \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right\|}. \qquad \qquad (2) </math>
* 副法向量 '''B''' 定义为 '''T''' 和 '''N''' 的[[外积]]：
::<math> \mathbf{B} = \mathbf{T} \times \mathbf{N}. \qquad \qquad (3) </math>

[[Image:frenetframehelix.gif|thumb|right|400px|[[螺旋线]]上弗勒内标架的运动。蓝色的箭头表示切向量，红色的箭头表示法向量，黑色的箭头表示副法向量。]]

由于 <math>|\mathbf{T}|=1,    \frac{d(\mathbf{T}\cdot \mathbf{T})}{ds} =2\mathbf{T}\cdot\mathbf{N} =0,</math> 所以 '''N''' 与 '''T''' 垂直。  方程 (3) 说明 '''B''' 垂直于 '''T''' 和 '''N'''，因此向量 '''T'''，'''N'''，'''B''' 互相垂直。

弗勒内公式如下：
:<math>

\begin{matrix}
\frac{d\mathbf{T}}{ds} &=& & \kappa \mathbf{N} & \\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{N}}{ds} &=& - \kappa \mathbf{T} & &+\, \tau \mathbf{B}\\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{B}}{ds} &=& & -\tau \mathbf{N} &
\end{matrix}
</math>
其中 κ 为曲线的[[曲率]]，τ 为曲线的[[挠率]]。

弗勒内公式有时也被称作''弗勒内定理''，并且可以写做矩阵的形式：<ref>{{harvnb|Kühnel|2002|loc=§1.9}}</ref>
:<math> \begin{bmatrix} \mathbf{T'} \\ \mathbf{N'} \\ \mathbf{B'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{T} \\ \mathbf{N} \\ \mathbf{B} \end{bmatrix}.</math>

其中的矩阵是[[反对称矩阵]]。

对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。

==参阅==
*[[曲线仿射几何]]
*[[曲线微分几何]]
*[[达布标架]]
*[[运动学]]

==注释==
{{reflist}}

==参考资料==
* {{citation|last1 = Crenshaw|first1=H.C.|last2=Edelstein-Keshet|first2=L.|title = Orientation by Helical Motion II.  Changing the direction of the axis of motion|journal=Bulletin of Mathematical Biology|volume=55|issue=1|year=1993|pages=213–230}}
* {{citation|title=Salas and Hille's Calculus — One and Several Variables|edition=7th|first1=Garret|last1=Etgen|first3=Saturnino|last3=Salas|first2=Einar|last2=Hille|publisher=John Wiley & Sons|year=1995|page=896}}
* {{citation|last=Frenet|first=F.|url=http://portail.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1852_1_17_A22_0.pdf|title=Sur les courbes à double courbure|publication-place=Thèse, Toulouse|year=1847|accessdate=2010-03-01|archive-date=2011-07-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20110716055126/http://portail.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1852_1_17_A22_0.pdf|dead-url=yes}}. Abstract in ''J. de Math. '17''', 1852.
* {{citation|last1=Goriely |first1=A. |last2=Robertson-Tessi |first2=M. |last3=Tabor |first3=M. |last4=Vandiver |first4=R. |year=2006 |url=http://math.arizona.edu/~goriely/Papers/2006-biomat.pdf |contribution=Elastic growth models |title=BIOMAT-2006 |publisher=Springer-Verlag |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20061229011619/http://math.arizona.edu/~goriely/Papers/2006-biomat.pdf |archivedate=2006-12-29 }}.
*{{citation | first = Phillip|last = Griffiths|authorlink=Phillip Griffiths|title = On Cartan's method of Lie groups and moving frames as applied to uniqueness and existence questions in differential geometry|journal =  Duke Mathematics Journal |volume = 41|issue = 4 | year = 1974 | pages = 775–814 | doi = 10.1215/S0012-7094-74-04180-5}}.
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* {{citation|last=Hanson|first=A.J.|url=http://www.cs.indiana.edu/pub/techreports/TR407.pdf|title=Quaternion Frenet Frames: Making Optimal Tubes and Ribbons from Curves|year=2007|journal=Indiana University Technical Report}}
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* {{citation|first = Camille|last = Jordan|title = Sur la théorie des courbes dans l'espace à n dimensions|journal = C. R. Acad. Sci. Paris|volume=79|year=1874|pages=795–797}}
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* {{citation|last=Serret|first=J. A.|url=http://portail.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1843_1_8_A32_0.pdf|title=Sur quelques formules relatives à la théorie des courbes à double courbure|journal=J. De Math.|volume=16|year=1851|accessdate=2010-03-01|archive-date=2022-03-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20220315151823/http://portail.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1843_1_8_A32_0.pdf}}.
* {{citation|first=Michael|last=Spivak|authorlink=Michael Spivak|title=A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two)|publisher=Publish or Perish, Inc.|year=1999}}.
* {{citation|first=Shlomo|last=Sternberg|title=Lectures on Differential Geometry|year=1964|publisher=Prentice-Hall}}
* {{citation|last=Struik|first=Dirk J.|title=Lectures on Classical Differential Geometry|publisher=Addison-Wesley|publication-place=Reading, Mass|year=1961}}.

==外部链接==
*[https://web.archive.org/web/20041015020304/http://www.mathcs.sjsu.edu/faculty/rucker/kaptaudoc/ktpaper.htm Rudy Rucker's KappaTau Paper].
*[https://web.archive.org/web/20060902172112/https://math.byu.edu/~math302/content/learningmod/trihedron/trihedron.html Very nice visual representation for the trihedron]

{{曲率}}

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