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'''弗洛凱理論（Floquet theory）'''是[[常微分方程]]理論的一種，討論有關下列[[微分方程]]類型的解答類別，

:<math>\dot{x} = A(t) x</math>,

其中，''A(t)''是一週期為''T''的連續週期函數。

弗洛凱理論的主要定理－'''弗洛凱定理'''給出了一般[[線性系統]]的每個[[基本解]]的[[正規形式]]。它給定了一[[局部坐標|座標轉變]]<math>y=Q^{-1}(t)x</math>，其中<math>Q(t+2T)=Q(t)</math>，用以來轉變[[週期系統]]至有常數及實[[係數]]的傳統線性系統。

在[[固態物理]]中，其類比的結果(推廣至三維)為[[布洛赫定理]]。


==弗洛凱定理==
X=A（t）x

其中，A(t)是一周期为T的连续周期函数。

弗洛凯理论的主要定理－弗洛凯定理给出了一般线性系统的每个基本解的正规形式。它给定了一座标转变<math>y=Q^{-1}(t)x</math>，其中<math>Q(t+T)=Q(t)</math>，用以来转变[[周期系统]]至有常数及实系数的传统[[线性系统]]。

在[[固态物理]]中，其类比的结果（推广至三维）为布洛赫定理。

==結論與應用==
量子力学中，含时薛定谔方程为<math>i\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=\hat{H}(t)|\psi(t)\rangle</math>。
如果哈密顿量<math>\hat{H}(t)</math>满足周期性边界条件<math>\hat{H}(t+T)=\hat{H}(t)</math>，<math>T=2\pi/\omega</math>，可以假定含时薛定谔方程的解为<math>|\psi(t)\rangle=e^{-i\epsilon t}|\phi(t)\rangle</math>，其中，<math>|\phi(t)\rangle</math>应满足<math>|\phi(t+T)\rangle=|\phi(t)\rangle</math>。
则原含时薛定谔方程变换为一个新的类似定态的薛定谔方程
:<math>\underbrace {\left( {\hat{H}(t) - i\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)}_{\hat{\mathcal{H}}}\left| {\phi (t)} \right\rangle  = \varepsilon \left| {\phi (t)} \right\rangle</math>
其中<math>\hat{\mathcal{H}}</math>为新的Floquet哈密顿量，<math>\varepsilon</math>为准能量，<math>|\phi (t)\rangle</math>被称为Floquet态。

==參考==

* Chicone, Carmen. ''Ordinary Differential Equations with Applications.'' Springer-Verlag, New York 1999
* Gaston Floquet, "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques," ''Ann. École Norm. Sup.'' '''12''', 47-88 (1883).
* https://qutip.org/docs/4.1/guide/dynamics/dynamics-floquet.html {{Wayback|url=https://qutip.org/docs/4.1/guide/dynamics/dynamics-floquet.html |date=20240429165841 }}



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[[Category:动力系统]]
[[Category:微分方程]]