查看“︁弗拉蒂尼引理”︁的源代码

在有限群論，'''弗拉蒂尼引理'''指：

: 若[[有限群]]<math>G</math>有[[正規子群]]<math>H</math>，<math>H</math>有[[西羅子群]]<math>P</math>，則  <math>G = N_G(P) H</math>，其中 <math>N_G(P)</math> 是 <math>P</math> 的[[正規化子]]。

它以Giovanni Frattini命名。他以此引理證明一個與[[弗拉蒂尼子群]]有關的定理。

==證明==
因為 <math>H \triangleleft G,  gPg^{-1} \le H \forall g \in G</math> 。因為<math>|g^{-1} P g| = |P| </math> ，所以可以根據[[西羅定理]]，在<math>H</math>內， <math>g^{-1} P g</math> 與 <math>P</math> 共軛 ，故對於任意的<math>g \in G</math>，存在 <math>h \in H</math> 使得 <math>P = h^{-1} (g^{-1} P g) h = (gh)^{-1} P (gh)</math> 。因此 <math>gh \in N_G(P), g \in N_G(P) h^{-1} \in N_G(P) H \forall g \in G</math> 。

==應用==
* 它應用於證明以下陳述：所有有限[[冪零群]]都是的西羅子群的[[直積]]。
* 若<math>P</math>是西羅子群、<math>G</math>是[[有限群]]， <math>N_G ( N_G (P) ) = N_G(P)</math> 。
* 更一般的結果：若<math>P</math>是西羅子群、<math>G</math>是[[有限群]]，且 <math>N_G(P) \le M \le G</math> ，則 <math>M = N_G(M)</math> 。

[[Category:群論]]
[[Category:引理]]