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在[[泛函分析]]中，'''开映射定理'''（open mapping theorem，亦称'''巴拿赫-绍德定理''' (Banach–Schauder theorem) 或'''巴拿赫定理''' (Banach theorem)）是一个基本的结果，它说明如果[[巴拿赫空间]]之间的[[连续函数 (拓扑学)|连续]][[线性算子]]是[[满射]]的，那么它就是一个[[开映射]]。更加精确地{{harv|Rudin|1973|loc=定理2.11}}:

* 如果''X''和''Y''是巴拿赫空间，''A'' : ''X'' → ''Y''是一个满射的连续线性算子，那么''A''就是一个开映射（也就是说，如果''U''是''X''内的[[开集]]，那么''A''(''U'')就是''Y''内的[[开集]]）。

该定理的证明用到了[[贝尔纲定理]]，''X''和''Y''的完备性都是十分重要的。如果仅仅假设''X''或''Y''是[[赋范空间]]，那么定理的结论就不一定成立。然而，如果''X''和''Y''是[[弗雷歇空间]]，那么定理的结论仍然成立。

==结果==
开映射定理有一些重要的结果：
* 如果''A'' : ''X'' → ''Y''是巴拿赫空间''X''和''Y''之间的[[双射]]连续线性算子，那么[[反函数|逆算子]]''A''<sup>-1</sup> : ''Y'' → ''X''也是连续的。{{harv|Rudin|1973|loc=推论2.12}}

* 如果''A'' : ''X'' → ''Y''是巴拿赫空间''X''和''Y''之间的线性算子，且如果对于''X''内的每一个[[序列]](''x''<sub>''n''</sub>)，只要''x''<sub>''n''</sub> → 0且''Ax''<sub>''n''</sub> → ''y''就有''y''  = 0，那么''A''就是连续的（[[闭图像定理]]）。{{harv|Rudin|1973|loc=定理2.15}}

==证明==
我们需要证明，如果{{nowrap|''A''&thinsp;: ''X'' &rarr; ''Y''}}是巴拿赫空间之间的连续线性满射，那么''A''就是一个开映射。为此，只需证明''A''把''X''内的[[单位球]]映射到''Y''的原点的一个邻域。

设''U''，''V''分别为''X''和''Y''内的单位球。那么''X''是单位球的倍数{{nowrap|''k''&thinsp;''U''}}的序列的并集，''k''&nbsp;&isin; '''N'''，且由于''A''是满射， 

:<math>Y=A(X)=A\Bigl(\bigcup_{k \in \mathbb{N}} kU\Bigr) = \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A(kU).</math>

根据[[贝尔纲定理]]，巴拿赫空间''Y''不能是可数个[[无处稠密集]]的并集，故存在{{nowrap|''k'' > 0}}，使得''A''(''kU'')的[[闭包]]具有非空的[[内部]]。因此，存在一个开球''B''(''c'',&nbsp;''r'')，其中心为''c''，{{nowrap|半径''r'' > 0}}，包含在''A''(''kU'')的闭包内。如果''v''&nbsp;&isin; ''V''，那么{{nowrap|''c'' + ''r''&thinsp;''v''}}和''c''位于''B''(''c'',&nbsp;''r'')内，因此是{{nowrap|''A''(''k''&thinsp;''U'')}}的[[极限点]]，根据加法的连续性，它们的差''rv''是{{nowrap|''A''(''k''&thinsp;''U'') &minus; ''A''(''k''&thinsp;''U'') &sub;}} {{nowrap|''A''(2''k''&thinsp;''U'')}}的极限点。根据''A''的线性，这意味着任何''v''&nbsp;&isin; ''V''都位于{{nowrap|''A''(''&delta;''&thinsp;<sup>&minus;1</sup>&thinsp;''U'')}}的闭包内，其中''&delta;''&nbsp;= {{nowrap|''r''&thinsp;/&thinsp;(2''k'')}}。于是可以推出，对于任何''y''&nbsp;&isin; ''Y''和{{nowrap|任何''&epsilon;'' > 0}}，都存在某个''x''&nbsp;&isin; ''X''，满足：

:<math>\ ||x||< \delta^{-1} ||y|| \quad </math> 且 <math> \quad ||y - Ax||< \varepsilon. \quad (1) </math>

固定{{nowrap|''y'' &isin; ''&delta;''&thinsp;''V''}}。根据(1)，存在某个{{nowrap|''x''&thinsp;<sub>1</sub>}}，满足||{{nowrap|''x''&thinsp;<sub>1</sub>}}||&nbsp;< 1且||{{nowrap|''y'' &minus; ''A''&thinsp;''x''&thinsp;<sub>1</sub>}}||&nbsp;{{nowrap|< ''&delta;''&thinsp;/&thinsp;2}}。定义序列{''x''<sub>''n''</sub>}如下。假设：

:<math>\ ||x_{n}||< 2^{-(n-1)} \quad </math> 且 <math> \quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n)|| < \delta \, 2^{-n} \, ; \quad (2) </math>

根据(1)，我们可以选择{{nowrap|''x''&thinsp;<sub>''n''&thinsp;+1</sub>}}，使得：

:<math>\ ||x_{n+1}||< 2^{-n} \quad </math> 且 <math> \quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n) - A(x_{n+1})|| <  \delta \, 2^{-(n+1)}, </math>

因此{{nowrap|''x''&thinsp;<sub>''n''&thinsp;+1</sub>}}满足(2)。设

:<math>\ s_n=x_1+x_2+ \cdots + x_n.</math>

从(2)的第一个不等式可知，{''s''<sub>''n''</sub>}是一个[[柯西序列]]，且由于''X''是完备的，''s''<sub>''n''</sub>收敛于某个{{nowrap|''x'' &isin; ''X''}}。根据(2)，序列{{nowrap|''A''&thinsp;''s''<sub>''n''</sub>}}趋于''y''，因此根据''A''的连续性，有{{nowrap|''A''&thinsp;''x'' {{=}} ''y''}}。而且：

:<math>||x||=\lim_{n \rightarrow \infty} ||s_n|| \leq \sum_{n=1}^\infty ||x_n|| < 2.</math> 

这表明每一个{{nowrap|''y'' &isin; ''&delta;''&thinsp;''V''}}都属于{{nowrap|''A''(2&thinsp;''U'')}}，或等价地，''X''内的单位球的像''A''(''U'')包含了''Y''内的开球{{nowrap|(''&delta;''&thinsp;/&thinsp;2)&thinsp;''V''}}。因此，''A''(''U'')是''Y''内0的邻域，定理得证。

==推广==
''X''&thinsp;或''Y''&thinsp;的局部凸性不是十分重要的，但完备性则是：当''X''和''Y''是[[F空间]]时，定理仍然成立。更进一步，这个定理可以用以下的方法与贝尔纲定理结合{{harv|Rudin|loc=定理2.11}}：

* 设''X''为F空间，''Y''为[[拓扑向量空间]]。如果''A''&nbsp;: ''X''&nbsp;&rarr;&nbsp;''Y''是一个连续线性算子，那么要么''A''(''X'')是''Y''内的[[贫集]]，要么''A''(''X'')&nbsp;= ''Y''。在后一个情况中，''A''是开映射，''Y''也是F空间。

更进一步，在这个情况中，如果''N''是''A''的[[核 (代数)|核]]，那么''A''有一个标准分解，形如下式：

:<math>X\to X/N \overset{\alpha}{\to} Y</math>

其中''X''&nbsp;/&nbsp;''N''是''X''对[[闭集|闭]]子空间''N''的[[商空间 (线性代数)|商空间]]（也是F空间）。商映射''X''&nbsp;&rarr;&nbsp;''X''&nbsp;/&nbsp;''N''是开放的，且映射''&alpha;''是[[拓扑向量空间]]的[[同构]]{{harv|Dieudonné|loc=12.16.8}}。

==参考文献==
* {{citation|first=Walter|last=Rudin|authorlink=Walter Rudin|title=Functional Analysis|publisher=McGraw-Hill|year=1973|isbn=0-07-054236-8}}
* {{citation|first=Jean|last=Dieudonné|title=Treatise on Analysis, Volume II|publisher=Academic Press|year=1970}}
{{planetmath|urlid=proofofopenmappingtheorem|title=Proof of open mapping theorem}}
{{泛函分析}}
{{泛函分析定理}}

[[Category:泛函分析]]
[[Category:数学定理|K]]

[[de:Offenheitssatz]]
[[it:Teorema della funzione aperta]]
[[ru:Принцип сохранения области]]