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{{DISPLAYTITLE:尾波}}
[[File:Fjordn surface wave boat.jpg|thumb|船只尾波的[[鸟瞰图]]]]
[[File:Wake.avon.gorge.2boats.arp.750pix.jpg|thumb|从前方观测的船只尾波]]
'''尾波'''（{{lang-en|wake|link=yes}}）是[[固体]]在划过[[流体]]（特别是[[液体]]）表面时在尾部产生的V形传播的[[波]]，例如[[水鸟]]或[[船舶]]匀速游过[[水体]]时在水面激起的后方波纹。因为由[[英国]]的[[开尔文男爵]]——[[物理学家]]威廉·汤姆森（William Thomson，1824～1907）最先对船波进行数学研究，因此也称为'''开尔文船波'''（{{lang|en|Kelvin wake或Kelvin ship wave}}）。

== 数学原理 ==
船形物体的尾波形状和[[福祿數]]<math>Fr</math>有密切关系。

<math>Fr=\frac{V}{\sqrt{gl}}</math>

其中''g''为重力常数，''V''是船速，''l''是船的长度。

令船的长度<math>l=k\cdot \frac{V^2}{g}</math>
则<math>Fr=\frac{1}{\sqrt{k}}</math>.

对于长度大而速度低的轮船，Fr数小，开尔文船波主要是长波，其波前与速度矢量的夹角比较小。

而小快艇，长度小，速度高，Fr 数大，开尔文船波则以短波长的水波为主，而波前则与速度矢量成较大的夹角。<ref name=L274>James LightHill, p274</ref>

开尔文船波动研究，对于船舶的设计有重要意义，因为船舶的马力，有一部分消耗在激起船波。利用Fr数与速度成正比，与长度的平方根成反比的规律，可以利用小的模型，缩小船长<math>M^2</math>倍，同时缩小速度M倍，可以在实验室中模拟海上舟。<ref name=L275>James Lighthill p275</ref>

==多鞍点函数积分==
[[File:Integrand of Kelvin Wake Integral.png|thumb|Integrand of Kelvin Wake Integral]]
[[File:Kelvin Ship Wake Integrand contour Maple plot.png|thumb|Kelvin Ship Wake Integrand contour Maple plot]]
当船只以速度V驶过深水湖面，波形的幅度在相对于船只为静止的极坐标（<math>\rho,\phi</math>中在船只的速度矢量方向，<math>\phi=0</math>），由下列公式表示<ref name=F790-1>Frank Oliver, p790-791</ref>

<math>K(\phi,\rho)=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\rho\frac{\cos(\theta+\phi)}{\cos^{2}\theta}d\theta</math>

其中<math>\rho=gr/V^2</math>

<math>\frac{1}{\rho}=\frac{V^2}{gr}</math>是[[福祿數]]的平方<math>Fr^2</math>

<math>g</math>为重力常数<math>l</math>为船的长度。

上列K函数是下列多鞍点积分的正数部分：

<math>K(\phi,\rho)=\Re(\int_{-\infty}^{\infty}\exp(i\rho f(\theta,\rho)d\theta)</math>
其中，多鞍点积分的核函数为

<math>f(\theta,\phi)=-\frac{\cos(\theta+\phi)}{\cos^2\theta}</math>

此核函数是一个多鞍点函数，振荡剧烈如图

求其极点，

<math>\frac{df(\theta,\phi)}{d\theta}=\frac{\sin(\theta+\phi)}{\cos(\theta)^2}-\frac{2\cos(\theta+\phi)\sin(\theta)}{\cos(\theta)^3}=0</math>

解之，得

<math>\theta_1=\arctan(\frac{(1/4)(1+\sqrt{(1-8\tan(\phi)^2))}}{\tan(\phi)})=-\arctan(\frac{(1/4)(-1+\sqrt(1-8\tan(\phi)^2))}{\tan(\phi)})</math>

由此

<math>\phi_1=19.47</math>度,

<math>\phi_2=-19.47</math>度

这就是凯尔文船波的V型波'''包线'''的夹角，最早由凯尔文男爵发现，而且角度与船速无关.<ref>{{cite journal|title=Transient Marangoni waves due to impulsive motion of a submerged body|journal=International Applied Mechanics|date=June 2004|first=Jian-Jun|last=Shu|volume=40|issue=6|pages=709–714|doi=10.1023/B:INAM.0000041400.70961.1b|arxiv=1402.4474|bibcode=2004IAM....40..709S}}</ref><ref>{{cite journal|title=Transient free-surface waves due to impulsive motion of a submerged source|journal=Underwater Technology|date=1 September 2006|first=Jian-Jun|last=Shu|volume=26|issue=4|pages=133–137|doi=10.3723/175605406782725023|arxiv=1402.4387}}</ref>至于波纹本身则与船速矢量的夹角为

<math>\theta=\pi-19.47=35.3</math>°<ref name=L274/>

==开尔文驻相法==
[[File:Maple density plot of Kelvin Wake.png|thumb|center|800px|Kelvin Wake (Maple density plot)]]

[[File:Kelvin Ship wave plot.png|thumb|center|600px|开尔文船波波形]]

开尔文船波积分<math>K(\phi,\rho)</math>必须通过数值积分计算。开尔文男爵根据被积分函数在积分区间内剧烈震荡的特点，提出了驻相法（Method of Stationary Phase）。

原理：当被积分函数剧烈震荡时，除了在极点外，震荡的被积分函数正负相抵消，因此可以将此被积分函数在极点的值作为整个积分的近似，驻相法乃是[[拉普拉斯方法]]的推广。<ref name=F790-5>Frank Oliver, p790-795</ref>

被积分函数
<math>f(\theta,\phi)=-\frac{cos(\theta+\phi)}{cos^2\theta}</math>
的两个极点是：

<math>\theta_p=arctan(\frac{(1/4)*(1+\sqrt{(1-8*tan(\phi)^2))}}{tan(\phi)})</math>


<math>\theta_m=-arctan(\frac{(1/4)*(-1+\sqrt(1-8*tan(\phi)^2))}{tan(\phi)})</math>

令

<math>f_m=f(\theta_m,\phi)=\frac{sin((1/2)*\phi-(1/2)*arcsin(3*sin(\phi)))}{sin((1/2)*\phi+(1/2)*arcsin(3*sin(\phi)))}</math>

<math>f_p=f(\theta_p,\phi)=\frac{cos((1/2)*\phi+(1/2)*arcsin(3*sin(\phi)))}{cos(-(1/2)*\phi+(1/2)*arcsin(3*sin(\phi)))}</math>

<math>fbar := 1/2*(f_p+f_m)</math>

<math>D2F=\frac{d^2 F(\theta,\phi)}{d\theta^2}</math>

<math>D2F_p=D2F(\theta_p,\phi)</math>

<math>D2F_m=D2F(\theta_m,\phi)</math>

<math>\Delta := (3/4*(f_m-f_p))^(2/3)</math>

<math>u=\sqrt{\frac{\Delta^{1/2}}{2}}*(\frac{1}{\sqrt{D2F_p}}+\frac{1}{\sqrt{-D2F_m}})</math>

<math>v=\sqrt{\frac{2}{\Delta^{1/2}}}*(\frac{1}{\sqrt{D2F_p}}-\frac{1}{\sqrt{-D2F_m}})</math>

<math>K(\phi,\rho)\approx 2*\pi*(u*cos(\rho*fbar)*AiryAi(-\rho^(2/3)*\Delta)/\rho^(1/3)+v*sin(\rho*fbar)*AiryAi(1, -\rho^(2/3)*\Delta)/\rho^(2/3))</math>


开尔文船波的波峰，由下列两个参数方程式描述<ref name=L277>James LightHill,p277</ref>

<math>x := X*sin(\beta)*(1-(1/2)*sin(\beta)^2)</math>

<math>y := X*sin(\beta)^2*cos(\beta)/(2*M)</math>

==外部链接==
*[http://dlmf.nist.gov/36.13  §36.13 Kelvin’s Ship-Wave Pattern] {{Wayback|url=http://dlmf.nist.gov/36.13 |date=20211116072322 }}

==腳註==
{{reflist}}
==参考文献==
*Frank J. Oliver, NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010, Cambridge University Press
*Jame Lighthill  Waves in Fluids, Cambridge University Press  1979
[[Category:特殊函数]]
[[Category:流体力学]]