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在[[几何学]]中，'''开世定理'''是[[欧几里得几何学]]中的一个[[定理]]，可以看做是[[托勒密定理]]的一个推广结果。开世定理得名于[[爱尔兰]][[数学家]][[约翰·开世]]。

== 叙述 ==
[[Image:Casey new1a.svg|thumb|350px|<math>t_{12} \cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0 </math>]]
开世定理的背景是[[圆]]的[[内切圆]]。设有[[半径]]为<math>\,R</math> 的一个圆<math>\,O</math>，圆内又有四个圆<math>\,O_1, O_2, O_3, O_4</math> 内切于圆<math>\,O</math>（如右图）。如果将圆<math>\,O_i, O_j</math> 的[[切线|外公切线]]的长度设为<math>\,t_{ij}</math>，那么开世定理声称，有下列等式成立。
:<math>\,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}</math>
可以注意到，如果四个内切的圆都退化成点的话，就会变成圆<math>\,O</math> 上的四个点，而开世定理中的等式也会化为托勒密定理。

==证明==
设大圆的圆心是点<math>\,O</math>；四个圆的圆心分别是点<math>\,O_1, O_2, O_3, O_4</math>，半径分别是<math>\,R_1, R_2, R_3, R_4</math>。每个圆与大圆<math>\,O</math> 的切点分别是<math>\,K_1, K_2, K_3, K_4</math>。

首先，根据[[勾股定理]]可以推出：对于任意的''i'' 和''j''，都有
:<math>\,t_{ij}^2=\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2 \qquad \qquad \qquad \cdots \, \, (1)</math>
接下来的思路是将这个公式右边的各个长度用<math>\,K_i,K_j</math> 来表示。

考虑三角形<math>\,O_iOO_j</math>，根据三角形的[[余弦定理]]：
:<math>\overline{O_iO_j}^2=\overline{OO_i}^2+\overline{OO_j}^2-2\overline{OO_i}\cdot \overline{OO_j}\cdot \cos\angle O_iOO_j \qquad \qquad \qquad \cdots \, \, (2)</math>

由于每个圆<math>\,O_i</math> 都和大圆相切，所以：
:<math>\overline{OO_i} = R - R_i,\, \angle O_iOO_j = \angle K_iOK_j</math>

设点<math>\,C</math> 为大圆<math>\,O</math> 上的任意一点，根据三角形的[[正弦定理]]，在三角形<math>\,K_iCK_j</math>之中，有：
:<math>\overline{K_iK_j} = 2R\cdot \sin\angle K_iCK_j = 2R\cdot \sin\frac{\angle K_iOK_j}{2}</math>

所以，余弦式
:<math>\cos\angle K_iOK_j = 1-2\sin^2\frac{\angle K_iOK_j}{2}=1-2\cdot \left(\frac{\overline{K_iK_j}}{2R}\right)^2 = 1 - \frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}</math>

将以上<math>\overline{OO_i}</math> 与<math>\cos\angle K_iOK_j</math> 代入式子<math>(2)</math>中，就可以得到：

:<math>\overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)\left(1-\frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}\right)</math>

:<math>=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}</math>

:<math>=((R-R_i)-(R-R_j))^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}</math>

:<math>=(R_i-R_j)^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}</math>

再代入式子<math>(1)</math>中，就得到<math>t_{ij}</math>的表达式：

:<math>t_{ij}=\sqrt{\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_iK_j}}{R}</math>

以上等式对所有的''i'' 和''j'' 都成立，因此只要注意到四边形 <math>\,K_1K_2K_3K_4</math> 是圆内接四边形，那么对其应用应用[[托勒密定理]]就可以得到开世定理：

:<math>t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}=\frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_2}\cdot \overline{K_3K_4}+\overline{K_1K_4}\cdot \overline{K_2K_3}\right)</math>

:<math>=\frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_3}\cdot \overline{K_2K_4}\right)=t_{13}t_{24} </math>

证明完毕。

==推广==

可以用类似的方法证明，只要当圆<math>\,O_1, O_2, O_3, O_4</math> 与大圆<math>\,O</math> 相切（不论是外切还是内切），就会有类似开世定理的等式成立。这是需要注明，对任意的''i'' 和''j''：
:如果圆<math>\,O_i, O_j</math> 是与大圆<math>\,O</math> 以同样的方式相切（都是外切或者都是内切）的话，则<math>\,t_{ij}</math>表示两个圆的外公切线的长度；
:如果圆<math>\,O_i, O_j</math> 是与大圆<math>\,O</math> 以不同的方式相切（一个是外切而另一个是内切）的话，则<math>\,t_{ij}</math>表示两个圆的内公切线的长度。
另一个特点是：这定理的逆定理也成立。也就是说，如果开世定理的等式成立，那么这些圆必定以规定的方式与大圆相切。<ref>Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry, p.123-125</ref>

==应用==

在欧几里得几何学中，开世定理可以用来证明多种不同的结论。比如说[[九点圆|费尔巴哈定理]]的一个简洁证明中就用到了它。

==注释==
{{reflist}}

==参考书籍==
* {{en}} {{ cite book | author = Roger A. Johnson | title = ''Advanced Euclidean Geometry'' | publisher = Dover | year = 2007 | isbn =  978-0-486-46237-0}}，p.123-125 （1929年曾以《现代几何学》（''modern geometry''）之名出版。）.
* {{en}}{{ cite book | author =O. Bottema, Reinie Erne | title = ''Topics in Elementary Geometry'' | url =https://archive.org/details/topicsinelementa0000bott | publisher = Springer | year = 2008 | isbn = 978-0-387-78130-3}}

==外部链接==
* {{MathWorld|urlname=CaseysTheorem|title=Casey's theorem}}
* [http://journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/CRUXv22n2/body/PDF/page49-53.pdf?file=page49-53 Shailesh Shirali: ''On a generalized Ptolemy Theorem'']{{dead link|date=2017年12月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}

[[Category:圆]]
[[Category:欧几里得几何]]
[[Category:几何定理]]
[[Category:数学定理|K]]