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'''廣義頻譜圖'''（Generalized spectrogram），為[[时频谱|頻譜圖]]的通用型。為了得知信號隨著時間的頻率分布狀態，以[[頻譜圖]]觀察時，其解析度受到測不準原理影響，頻率解析度與時間解析度相乘為定值。為解決此問題，於是將頻譜圖推廣至廣義頻譜圖。

一段隨時間變化的信號，同時具有時域和頻域的特徵，若想要了解一個信號在某段時間內的頻率特徵，最好的方式就是使用時頻分析，觀察一段信號的時頻分布圖。頻譜圖(Spectrogram)就是其中一種同時表示時間和頻率特徵的分布圖。

==廣義頻譜圖的定義==
以高斯函數作為窗函數(window function)，使用時頻分析，求出兩組不同長度的窗函數的[[加伯轉換]]，即 <math>{G_{x,{w_1}}}\left( {t,f} \right)</math> 和 <math>{G_{x,{w_2}}}\left( {t,f} \right)</math> ，再將 <math>{G_{x,{w_2}}}\left( {t,f} \right)</math> 取共軛複數後相乘。公式如下：

<math>S{P_{x,{w_1},{w_2}}}(t,f) = G_{x,{w_1}}(t,f)G_{x,{w_2}}^*(t,f)</math> 

其中<math>w_1(t),w_2(t)</math>為[[加伯轉換]]的[[窗函數]]，<math>t</math>為時間 <math>f</math>為頻率。

[[加伯轉換]]的公式如下：

<math>{G_{x,{w_1}}}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {{w_1}\left( {t - \tau } \right)x\left( \tau  \right)\,{e^{ - j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }</math>

<math>{G_{x,{w_2}}}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {{w_2}\left( {t - \tau } \right)x\left( \tau  \right)\,{e^{ - j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }</math>

若將<math>w_1(t)=w_2(t)</math>，則與原本[[頻譜圖]]無異。

長度不同的窗函數，其時頻域的解析度不同，依據測不準原理，較窄的窗函數，時間解析度較好，而頻率解析度較差；相反的，較寬的窗函數，頻率解析度較好，而時間解析度較差。

為了同時在時間和頻率軸上都達到更好的解析度，把在[[頻譜圖]]原定義中的<math>w(t)</math>分為兩個長短不同的波形。例如 : 可以讓<math>w_1(t)</math>長度較寬，在頻域上面有良好的解析度，而<math>w_2(t)</math>則長度較窄，在時域上有良好的解析度。先分別運算<math>{G_{x,{w_1}}}\left( {t,f} \right)</math>和<math>{G_{x,{w_2}}}\left( {t,f} \right)</math>，再相乘，變為<math>S{P_{x,{w_1},{w_2}}}\left( {t,f} \right)</math>。如此一來時域和頻域上的解析度都能兼顧到。

==優點==
* 有優於[[測不準原理]]的時間解析度與空間解析度。
* 由於各自的[[加伯轉換]]並不會有cross term，故此方法也不會有cross term出現。
* 有省時方法：當一組[[加伯轉換]]中的數值為零時，我們將不用去計算另一組，因為相乘後還是零。

==缺點==
* 需要計算兩組[[加伯轉換]]，即與[[頻譜圖]]相比，最高會多花兩倍的時間
* 需要去最佳化<math>w_1(t)</math>與<math>w_2(t)</math>

==例子==
當我們的輸入信號為：
: <math>x_1 (t)=\begin{cases}
\cos(2 \pi t);  & t  <10 \\
\cos(3 \pi t);  & 10 \le t < 20 \\
\cos(6 \pi t);  & t  > 20
\end{cases}</math>
我們先分別求出<math>\sigma = 0.1</math> 與 <math>\sigma = 1.6</math> 的 。經Matlab計算後，如下圖
[[File:GaborSigma0.1.png|缩略图|居中|加伯轉換中，sigma=0.1的頻譜圖]]
[[File:GaborSigma16.png|缩略图|居中|加伯轉換中，sigma=1.6的頻譜圖]]
將其中一個取共軛複數後，兩者相乘，得到廣義頻譜圖如下；
[[File:GeneralizedSpect.png|缩略图|居中|廣義頻譜圖]]

我們可以與<math>\sigma = 0.4</math>的加伯轉換比較：
[[File:GaborSigma0.4.png|缩略图|居中|加伯轉換中，sigma=0.4.的頻譜圖]]

可以發現廣義頻譜圖無論是在時間解析度下，或是頻率解析度下，都優於<math>\sigma = 0.4</math>的加伯轉換。

==變形==
原本的廣義頻譜圖公式為
<math>S{P_{x,{w_1},{w_2}}}(t,f) = {G_{x,{w_1}}}(t,f)G_{x,{w_2}}^*(t,f)</math>

我們可以對此再進行一般化，如下

<math>S{P_{x,{w_1},{w_2}}}(t,f) = G_{x,{w_1}}^\alpha(t,f)G_{x,{w_2}}^\beta(t,f)</math>

或者如下方形式：

<math>S{P_{x,{w_1},{w_2}}}(t,f) = \left| G_{x,{w_1}}(t,f)\right|^\alpha \left|G_{x,{w_2}}(t,f)\right|^\beta</math>

兩種方法新增了<math>\alpha</math>、<math>\beta</math>兩變數，期望能找到更好的解析度。
== 參見 ==
* [[時頻分析]]
* [[頻譜圖]]
* [[短時距傅立葉變換]]
* [[加伯轉換]]
* [[韋格納分布]]

==參考來源==
* 丁建均上課講義。[http://djj.ee.ntu.edu.tw/TFW.htm 時頻分析與小波轉換] {{Wayback|url=http://djj.ee.ntu.edu.tw/TFW.htm |date=20170101160000 }}，p189-p192。2016.1.19
* P. Boggiatto, G. De Donno, and A. Oliaro,"Two window spectrogram and their integrals,"Advances and Applications, vol. 205, pp. 251–268, 2009.。


[[Category:聲學]]
[[Category:信號處理]]