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{{NoteTA|G1=物理学}}
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== 狹義相對論 ==
在[[狹義相對論]]中，[[微積分]]、[[矩陣]]為其所用到的主要[[數學]]工具，配合[[閔可夫斯基時空]]的轉換以及[[勞倫茲不變量]]的使用，粗略地描述了'''時'''、'''空'''的性質。當s'[[座標系]]在s座標系沿x軸作等速v運動時，其轉換以以下方程表示：
:<math>x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math>
:<math>y' = y</math>
:<math>z' = z</math>
:<math>t' = \frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math>
其具有以下不變形式：
:<math>{c^2}{t^2}-x^2-y^2-z^2 = {c^2}{t'^2}-x'^2-y'^2-z'^2</math>
或者寫成微分形式
:<math>{c^2}{dt^2}-dx^2-dy^2-dz^2 = {c^2}{dt'^2}-dx'^2-dy'^2-dz'^2</math>
在適當地選取座標系可使<math>c = 1</math>

對於牛頓力學中的動量、能量作了以下的修正：
:<math>\mathbf{p}  = m\mathbf{v}</math>
:<math>E = mc^2</math>
其中
:<math>m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math>，:<math>m_0</math>為物質在靜止下的質量
能量和動量有以下關係：
:<math>E^2 = {\left(pc\right)}^2+{\left(m_0c^2\right)}^2</math>

== 廣義相對論 ==
狹義相對論僅限於等速、時空可近似平坦地情況下，然而在討論大尺度且有引力場的情況下，就必須使用[[廣義相對論]]。

[[愛因斯坦]]認為，[[慣性坐標系]]並沒有優於其他[[坐標系]]，一切的[[物理定律]]應在任何參考座標系下皆成立，所有的變換應都是協變的。因此，在其論文中，大量地使用稱之為[[張量]](Tensor)的數學工具，其方程往往是[[非線性系統|非線性]]的，因此很難求解。

=== 數學形式 ===
一小段弧長ds平方的不變式

<math>ds^2 = g_{\mu\nu}{dx^\mu}{dx^\nu}</math>

<math>g_{\mu\nu}</math>為[[度規張量]]

<math>{dx^\mu}</math>和<math>{dx^\nu}</math>為[[逆變張量]]


質點沿測地線運動，測地線方程可以用[[哈密頓原理]]或是[[平行位移]](parallel transportation)等方式推導，以下為測地線方程：

<math>\frac{d^2x^\mu}{ds^2}+\Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}\frac{dx^\nu}{ds}\frac{dx^\sigma}{ds} = 0</math>

<math>\Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}</math>為[[克里斯多福符號]]

在非歐式空間中，描述空間曲率的張量為黎曼－克里斯多福張量

<math>R^\beta_{\nu\rho\sigma} = 
\frac{\partial\Gamma^{\beta}_{\nu\sigma}}{\partial x^\rho}-
\frac{\partial\Gamma^{\beta}_{\nu\rho}}{\partial x^\sigma}+
\Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}\Gamma^{\beta}_{\alpha\rho}-
\Gamma^{\alpha}_{\nu\rho}\Gamma^{\beta}_{\alpha\sigma}
</math>

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 外部連結 ==
* [http://www.youtube.com/watch?v=s8UrYIZhm60&feature=SeriesPlayList&p=6C8BDEEBA6BDC78D&index=1 史丹佛大學廣義相對論的課程] {{Wayback|url=http://www.youtube.com/watch?v=s8UrYIZhm60&feature=SeriesPlayList&p=6C8BDEEBA6BDC78D&index=1 |date=20161015121439 }}

{{-}}
{{廣義相對論}}

[[Category:廣義相對論的數學方法| ]]
[[Category:有单独入门介绍的条目]]