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'''廣義多項式韋格納頻譜圖'''（generalized polynomial Wigner spectrogram），是一種用於[[時頻分析]]的方法，屬於[[信号处理|信號處理]]的範疇。一個好的時頻分析講求在頻譜圖上要有高的解析度，並且不能有相交項(cross term)，才能得到準確的[[瞬時頻率]]，但這兩點之間常須進行取捨。[[韋格納分佈]]雖然解析度較高，但在許多情況下會有相交項，例如瞬時頻率為高階指數函數時或多組件時；在瞬時頻率為高階指數函數時{{Tsl|en|Polynomial_Wigner–Ville_distribution|多項式韋格納分佈}}除了能保有高解析度之外還能消除相交項，但在多組件情況下的相交項仍然存在；[[加伯轉換]]沒有相交項，但解析度較低，[[廣義頻譜圖]]雖然強化了加伯轉換的解析度，但仍比韋格納分佈來得模糊。

廣義多項式韋格納頻譜圖透過結合[[廣義頻譜圖]]與{{Tsl|en|Polynomial_Wigner–Ville_distribution|多項式韋格納分佈}}的優點，來達到同時高解析度與沒有相交項的目標。

== 原理 ==

=== 韋格納分佈 ===

: <math> W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f}d\tau</math><math>=\int_{-\infty}^{\infty} X(f+\eta/2)\cdot X^*(f-\eta/2)e^{j2\pi t\eta}\cdot d\eta</math>

=== 多項式韋格納分佈 ===

: 在<math>x(t) = \exp(j2\pi \sum_{n=1}^{\frac{q}{2}+1}n a_n t^{n})</math>時，
:: <math>PWVD_x(t,f) 
= \int_{-\infty}^{\infty} \exp(j2\pi \sum_{n=1}^{\frac{q}{2} + 1} n a_n  t^{n-1} \tau) \ e^{-j2\pi\tau f} d\tau 
= \int_{-\infty}^{\infty} [\prod_{\ell=1}^{q/2}x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau)]e^{-j2\pi \tau f}d\tau</math>
: 透過設定<math>d_\ell</math>使下式成立，
:: <math>
\exp(j2\pi \sum_{n=1}^{\frac{q}{2} + 1} n a_n  t^{n-1} \tau)
= \prod_{\ell=1}^{q/2}x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau)</math>
: 即可得到，
:: <math>PWVD_x(t,f) 
= \int_{-\infty}^{\infty} \exp(j2\pi \sum_{n=1}^{\frac{q}{2} + 1} n a_n  t^{n-1} \tau) d\tau
\cong \delta(f-\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}n a_n t^{n-1} \tau)</math>
: 亦即<math>x(t)</math>的瞬時頻率。

=== 加伯轉換 ===

: <math>{G_{x,{w}}}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {w \left( {t - \tau } \right)x\left( \tau  \right)\,{e^{ - j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }</math>
: 亦即使用[[高斯函数|高斯函數]]做為[[短時距傅立葉變換|短時距傅立葉轉換]]的[[窗函数|窗函數]]。

=== 廣義頻譜圖 ===

: <math>S{P_{x,{w_1},{w_2}}}(t,f) = G_{x,{w_1}}(t,f)G_{x,{w_2}}^*(t,f)</math>
: 其中<math>w_1(t),\ w_2(t)</math>為兩個不同的窗函數，
:: <math>{G_{x,{w_1}}}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {{w_1}\left( {t - \tau } \right)x\left( \tau  \right)\,{e^{ - j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }</math>
:: <math>{G_{x,{w_2}}}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {{w_2}\left( {t - \tau } \right)x\left( \tau  \right)\,{e^{ - j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }</math>
: 若<math>w_1(t)=w_2(t)</math>，則為一般[[頻譜圖]]。
: 不過根據測不準原理，較窄的窗函數，時間解析度較好，而頻率解析度較差；相反的，較寬的窗函數，頻率解析度較好，而時間解析度較差。
: 因此若兩個窗函數一個較窄一個較寬，加伯轉換後會得到解析度分別在時域與頻域較好的兩個頻譜圖，再透過相乘即可得到解析度在時頻兩域均好的頻譜圖。

=== 廣義多項式韋格納頻譜圖 ===

: <math>C_x(t, f) = p\left(SP_x(t,f),\ |PWVD_{x}(t,f)|\right)</math>，其中<math>p(x, y)</math>可以是任何輸入兩個變數的函數。
: 如果在<math>\min(x, y)=0</math>時<math>p(x, y)=0</math>，即可達到去除相交項的同時保有高解析度的特性。
: 例如：
:* <math>p(x, y)=xy</math>，<math>C_x(t, f) = SP_x(t,f)|PWVD_{x}(t,f)|</math>  由於多項式韋格納分佈會有相交項，透過相乘，相交項<math>PWVD_x(t,f) \neq 0</math>會因為<math>SP_x(t,f)=0</math>而消掉；  因為廣義頻譜圖解析度較低，在瞬時頻率附近的頻率<math>SP_x(t,f)\neq 0</math>，但對於解析度較高的多項式韋格納分佈來說<math>PWVD_x(t,f) \simeq 0</math>，因此相乘後<math>C_x(t, f) \simeq 0</math>提高解析度。  其他類似變型有：
:** <math>p(x, y)=x^\alpha y^\beta</math>，<math>C_x(t, f) = SP_x^\alpha(t,f)|PWVD_x^\beta(t,f)|</math>
:** 也可以加個閾，<math>C_x(t, f) = thr[SP_x^\alpha(t,f)]|PWVD_x^\beta(t,f)|</math>，  其中<math>thr(x)= 
\begin{cases} 
x- \Delta & ,x > \Delta  \\ 
0 & ,x \leq \Delta
\end{cases}</math>，閾值<math>\Delta</math>可自行設定任意值
:* <math>C_x(t, f) = \min \{A_1 SP_x(t,f),\ A_2|PWVD_{x}(t,f)|\}</math>
:* <math>C_x(t, f) = SP_x^\alpha(t,f)|PWVD_x^\beta(t,f)| \cdot \{[SP_x(t,f) > \Delta_1]\&[|PWVD_x(t,f)| > \Delta_2]\}</math>

== 優缺點比較 ==
{| class="wikitable"
|+
比較各種時頻分析方法的優缺點<ref name=":0">{{Cite journal|title=Generalized polynomial wigner spectrogram for high-resolution time-frequency analysis|url=http://dx.doi.org/10.1109/apsipa.2013.6694292|last=Ding|first=Jian-Jiun|last2=Pei|first2=Soo Chang|date=2013-10|journal=2013 Asia-Pacific Signal and Information Processing Association Annual Summit and Conference|publisher=IEEE|doi=10.1109/apsipa.2013.6694292|isbn=9789869000604|last3=Chang|first3=Yi-Fan}}</ref>
!時頻分析方法
!時域高解析度
!頻域高解析度
!在瞬時頻率為高階指數函數時
避免交叉項
!多組件時
避免交叉項
|-
|[[短時距傅立葉變換|短時距傅立葉轉換]]（窄窗函數）
|Δ
|Χ
|Ο
|Ο
|-
|[[短時距傅立葉變換|短時距傅立葉轉換]]（寬窗函數）
|Χ
|Δ
|Ο
|Ο
|-
|[[廣義頻譜圖]]
|Δ
|Δ
|Ο
|Ο
|-
|[[韋格納分佈]]
|Ο
|Ο
|Χ
|Χ
|-
|[[科恩系列分佈]]
|Ο
|Ο
|Δ
|Δ
|-
|{{Tsl|en|Polynomial_Wigner–Ville_distribution|多項式韋格納分佈}}
|Ο
|Ο
|Ο
|Χ
|-
|廣義多項式韋格納頻譜圖
|Ο
|Ο
|Ο
|Ο
|}

== 参考资料 ==
{{reflist}}
* Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.

[[Category:信号处理]]