查看“︁康托尔函数”︁的源代码

{{expert|time=2014-01-22T11:53:09+00:00}}
[[File:CantorFunction.svg|300px|right|thumb|区间[0,1]上的康托尔函数]]
在数学中，以数学家[[格奥尔格·康托尔]]命名的'''康托尔函数'''，是一个[[一致连续]]，却不[[绝对连续]]的[[函数]]。

== 定义 ==
康托尔函数 c : [0,1] → [0,1] ，对于x∈[0,1]，其[[函数]]值c(x)可由以下步骤得到：
# 以[[三进制]]表示x。
# 如果x中有数字1，就将第一个1之后的所有数字换成0。
# 将所有数字2换成数字1。
# 以[[二进制]]读取转换之后的数，这个数即为c(x)。
例如：
* 1/4以[[三进制]]表示为0.020202...，其中并没有1，因此经过第二步仍然是0.020202...，第三步转换为0.010101...，将其视为[[二进制]]，则为1/3，因此c(1/4)=1/3。
* 1/5以[[三进制]]表示为0.01210121...，第二步转换为0.01，由于其中没有2，因此经过第三步后仍是0.01，视为[[二进制]]则为1/4，因此c(1/5)=1/4。
* 200/243以[[三进制]]表示为0.21102(即0.2110122222...)，第二步转换为0.21，第三步转换为0.11，视为[[二进制]]则为3/4，因此c(200/243)=3/4。



== 其它定义 ==
=== 性质构造 ===
若在[0, 1]上定义的f(x)满足下列四个条件，则f(x)即为康托尔函数：<ref>{{cite mathworld|urlname=CantorFunction|title=Cantor Function  |accessdate=2014-01-23 |archive-date=2019-02-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190214043356/http://mathworld.wolfram.com/CantorFunction.html |dead-url=no }}</ref>
# <math>\forall 0 \le x < y \le 1,f(x) \le f(y)</math>
# <math>f(0)=0</math>
# <math>f(\frac{1}{3} x)=\frac{1}{2} f(x)</math>
# <math>f(1-x)=1-f(x)</math>

=== 迭代构造 ===
[[File:Cantor function sequence.png|250px|right]]
下面构造一个函数[[序列]]{f<sub>''n''</sub>(''x'')}，这个序列将[[收敛]]于康托尔函数：
首先定义
:<math>f_0(x) = x</math>
接下来，对于每个正整数n，函数f<sub>''n+1''</sub>(''x'')都由函数f<sub>''n''</sub>(''x'')定义：
:<math>f_{n+1}(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{2} \times f_n(3x) &\mbox{if } 0 \le x < \frac{1}{3} \\
\frac{1}{2} &\mbox{if } \frac{1}{3} \le x < \frac{2}{3} \\
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times f_n(3x - 2) &\mbox{if } \frac{2}{3} \le x \le 1
\end{cases}</math>
检查 f<sub>''n''</sub>(''x'')是否每个点都收敛于之前定义的康托尔函数，可以发现，
:<math>\max_{x \in [0, 1]} |f_{n+1}(x) - f_n(x)| \le \frac 1 2 \, \max_{x \in [0, 1]} |f_{n}(x) - f_{n-1}(x)|, \quad n \ge1.</math>
设f(''x'')是[[极限函数]], 那么对于任意[[非负整数]]n都有，
:<math>\max_{x \in [0, 1]} |f(x) - f_n(x)| \le 2^{-n+1} \, \max_{x \in [0, 1]} |f_1(x) - f_0(x)|.</math>
另外可以注意到只要满足f<sub>0</sub>(0)&nbsp;= 0, f<sub>0</sub>(1)&nbsp;= 1 且f<sub>0</sub>  [[有界函数|有界]]，起始函数f<sub>0</sub>(''x'')具体是什么函数并不重要。
==參考資料==
{{reflist}}
[[Category:分形]]
[[Category:测度论]]
[[Category:特殊函数]]