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{{Unreferenced|time=2021-05-17T00:42:51+00:00}}
[[庫拉托夫斯基]]閉包公理可來定義一個集上的拓扑結構，它和以[[開集]]作定義拓樸結構的公理等價。

==定义==
[[拓樸空間]] <math>(X,\operatorname{cl})</math> 是集合 <math>X</math> 及作用在 <math>X</math> 的[[冪集]]上的[[閉包算子]]

:<math>\operatorname{cl}:\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)</math>。

閉包算子需符合以下條件：
# <math> A \subseteq \operatorname{cl}(A) \! </math>
# <math> \operatorname{cl}(\operatorname{cl}(A)) = \operatorname{cl}(A) \! </math> ([[等冪]]性)
# <math> \operatorname{cl}(A \cup B) = \operatorname{cl}(A) \cup \operatorname{cl}(B) \! </math>
# <math> \operatorname{cl}(\varnothing) = \varnothing \! </math>

如果不要求第二个公理即幂等公理，则剩下的公理定义了[[预闭包算子]]。

== 等價的證明 ==
從由閉包算子定義的拓撲空間開始。''A'' 稱為在<math>(X,\operatorname{cl})</math> 是[[閉集|閉合]]的，若<math>A=\operatorname{cl}(A)</math>。亦即，''X'' 的閉集是閉包算子的[[不動點]]。

若稱「開集」為其補集為閉集的集合，則所有開集會形成一個[[拓撲空間|拓撲]]，證明如下：
#由公理4.可知<math>\varnothing\!</math>為閉集；由公理1.及閉包算子的[[閉包 (數學)|閉合性]]可知''X'' 為閉集。因此，''X'' 及<math>\varnothing\!</math>（分別為<math>\varnothing\!</math>及''X'' 的補集）為開集。
#令''X'' 的子集<math>{A_i},i\in\Lambda\!</math>（其中<math>\Lambda</math>為任意集合）皆為開集，由公理1.及閉集的定義可知<math>\bigcup_{i\in\Lambda} A_i</math>為開集。
#令''X'' 的子集''A'' 及''B'' 為開集，由公理3.可知<math>A \cap B</math>為開集。
相反地，由開集定義的拓撲也可推導至由閉包算子定義的拓撲空間。令外，也可得出下列等價的定義：

兩個拓撲空間之間的函數
:<math>f:(X,\operatorname{cl}) \to (X',\operatorname{cl}')</math>

稱為'''[[連續函數|連續的]]'''，若對所有''X'' 的子集''A'，
:<math>f(\operatorname{cl}(A)) \subset \operatorname{cl}'(f(A))</math>

一個點稱之為在<math>(X,\operatorname{cl})</math>內是接近''A'' 的，若<math>p\in \operatorname{cl}(A)</math>。

[[Category:点集拓扑学|K]]
[[Category:闭包算子]]
[[Category:公理]]