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{{noteTA
|G1=Physics
}}
'''度量張量'''（英語：Metric tensor）在[[黎曼幾何]]裡面又叫'''黎曼度量'''，[[物理学]]译为'''度規張量'''，是指一用來衡量[[度量空间]]中距離，面積及角度的二階[[張量]]。

==内容==
當选定一個局部坐標系統<math>x^i</math>，度量張量為二階張量一般表示為 <math>\textstyle \mathrm{d}s^2=\sum_{ij}g_{ij}\mathrm{d}x^i \mathrm{d}x^j</math>，也可以用[[矩陣]] <math>(g_{ij})</math> 表示，記作為''G''或''g''。而 <math>g_{ij}</math> 記號傳統地表示度量張量的[[協變導數|協變]]分量（亦為「矩陣元素」）。

<math>a</math> 到 <math>b</math> 的[[弧长|弧線長度]]定义如下，其中参数定為t，t由a到b:

:<math>L = \int_a^b \sqrt{ \sum_{ij}g_{ij}{\mathrm{d}x^i\over \mathrm{d}t}{\mathrm{d}x^j\over \mathrm{d}t}}\mathrm{d}t</math>

兩個切向量的夾角 <math> \theta </math>,設向量 <math>\textstyle U=\sum_i u^i{\partial\over \partial x_i}</math> 和 <math>\textstyle V=\sum_i v^i{\partial\over \partial x_i}</math>，定義為：

:<math>
\cos \theta =\frac{\langle u, v\rangle}{|u||v|}= \frac{\sum_{ij}g_{ij}u^iv^j}
{\sqrt{ \left| \sum_{ij}g_{ij}u^iu^j \right| \left| \sum_{ij}g_{ij}v^iv^j \right|}}
</math>

若 <math>f</math> 為<math>\mathbb{R}^n</math> 到 <math>\mathbb{R}^n</math> 的局部微分同胚，其誘導出的度量張量的矩陣形式 <math>G</math>，由以下方程式計算得出：

:<math>G = J^T J</math>

<math>J </math> 表示 <math>f</math> 的[[雅可比矩阵]]，它的轉置为 <math>J^T </math>。著名例子有 <math>\mathbb{R}^2</math> 之間從[[極座標系]] <math>(r,\theta)</math> 到[[直角座標]] <math>(x,y)</math> 的座標變換，在這例子裡有：
:<math>x = r \cos\theta</math>
:<math>y = r \sin\theta</math>
這映射的雅可比矩陣為
:<math>J = \begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{bmatrix}.</math>
所以
:<math>G=(g_{ij}) = J^\mathrm{T}J  = \begin{bmatrix}\cos^2\theta+\sin^2\theta & -r\sin\theta \cos\theta + r\sin\theta\cos\theta \\ -r\cos\theta\sin\theta + r\cos\theta\sin\theta & r^2 \sin^2\theta + r^2\cos^2\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix} \ </math>

這跟微積分裡極座標的黎曼度量, <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2 \mathrm{d}\theta^2</math>，一致。

==例子==
===歐幾里德幾何度量===
二維歐幾里德度量張量：

:<math>(g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}</math>

弧線長度轉為熟悉[[微積分]]方程式：

:<math>L = \int_a^b \sqrt{ \left(\frac{\mathrm{d}x^1}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t}\right)^2}\mathrm{d}t </math>

在其他坐標系統的歐氏度量：

[[极坐标系]]：<math>(x^1, x^2)=(r, \theta)</math>

:<math>(g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2\end{bmatrix}</math>

[[圓柱坐標系]]：<math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, z)</math>

:<math>(g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}</math>

[[球坐標系]]：<math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \phi, \theta)</math>

:<math>(g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2\end{bmatrix}</math>

平坦的[[闵可夫斯基空间]] ([[狭义相对论]])：<math>(x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, x, y, z)\,</math>

:<math>(g_{\mu\nu}) = (\eta_{\mu\nu}) \equiv \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}</math>

在一些習慣中，與上面相反地，時間''ct''的度規分量取正號而空間 (''x'',''y'',''z'')的度規分量取負號，故矩陣表示為：

:<math>(g_{\mu\nu}) = (\eta_{\mu\nu}) \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix}</math>

==參看==
*[[偽黎曼度量]]

{{張量}}

[[Category:黎曼几何]]
[[Category:基本物理概念]]
[[Category:微分几何]]
[[Category:度规张量| ]]