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[[数学]]中，'''庞加莱度量'''（{{lang|en|Poincaré metric}}），以[[昂利·庞加莱]]命名，描述了一个常负[[曲率]]二维曲面的[[度量张量]]。它是[[双曲几何]]和[[黎曼曲面]]中广为使用的自然度量。

在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是[[庞加莱半平面模型]]，在[[上半平面]]上定义一个双曲空间模型。[[庞加莱圆盘模型]]在[[单位圆盘]]上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个[[共形映射]]联系，[[等距]]由[[莫比乌斯变换]]给出。第三个表述是在[[穿孔圆盘]]上，通常表示为与 [[q-类似]]（{{lang|en|Q-analog}}）的关系，这种形式不同于前两种。
 
==黎曼曲面上的度量概要==
[[复平面]]上的度量可写成一般形式

:<math>ds^2=\lambda^2(z,\overline{z})\, dzd\overline{z}</math>
这里 &lambda; 是 ''z'' 与 <math>\overline{z}</math> 的一个[[实数|实]]正函数。复平面上曲线 &gamma; 的长度为
:<math>l(\gamma)=\int_\gamma \lambda(z,\overline{z})\, |dz| .</math>

复平面上子集 ''M'' 之面积是

:<math>\mbox{Area}(M)=\int_M \lambda^2 (z,\overline{z})\,\frac{i}{2}dz \wedge d\overline{z},</math>

这里 <math>\wedge</math> 是用于构造[[体积形式]]的[[外积]]。度量的行列式等于 <math>\lambda^4</math>，故而行列式的平方根是 <math>\lambda^2</math>。复平面上的欧几里得体积形式为 <math>dx\wedge dy</math>，从而我们有   
:<math>dz \wedge d\overline{z}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-idy)= -2i\,dx\wedge dy.</math>

函数 <math>\Phi(z,\overline{z})</math> 称为'''度量的势能'''（{{lang|en|potential of the metric}}），如果 
:<math>4\frac{\partial}{\partial z} 
\frac{\partial}{\partial \overline{z}} \Phi(z,\overline{z})=\lambda^2(z,\overline{z}).</math>

[[拉普拉斯–贝尔特拉米算子]]为

:<math>\Delta = \frac{4}{\lambda^2} 
\frac {\partial}{\partial z} 
\frac {\partial}{\partial \overline{z}}
= \frac{1}{\lambda^2} \left(
\frac {\partial^2}{\partial x^2} + 
\frac {\partial^2}{\partial y^2}
\right).</math>

度量的[[高斯曲率]]由
:<math>K=-\Delta \log \lambda ,</math>
给出，这个曲率是[[里奇数量曲率]]的一半。

[[等距]]保持角度与弧长。在黎曼曲面上，等距与坐标变换等价：即拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲率在等距下不变。从而，比如设 ''S'' 是一个黎曼曲面带有度量 <math>\lambda^2(z,\overline{z})\, dzd\overline{z}</math> 而 ''T'' 是带有度量 <math>\mu^2(w,\overline{w})\, dw\,d\overline{w}</math> 的黎曼曲面，则映射

:<math>f:S\to T\,</math>

以及 <math>f=w(z)</math> 是等距当且仅当它是共形的以及

:<math>\mu^2(w,\overline{w}) \;
\frac {\partial w}{\partial z}
\frac {\partial \overline {w}} {\partial \overline {z}} = 
\lambda^2 (z, \overline {z}) .
</math>

在这里，映射为共形的也就是条件

:<math>w(z,\overline{z})=w(z),</math>
即

:<math>\frac{\partial}{\partial \overline{z}} w(z) = 0.</math>

==庞加莱平面上的度量与体积元==
[[庞加莱半平面模型]]中[[上半平面]] ''H'' 的'''庞加莱度量张量'''为
:<math>ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2},</math>
这里我们记 <math>dz=dx+i\,dy</math>。这个度量张量在 [[SL2(R)|SL(2,'''R''')]] 的作用下不变。这就是，如果我们记

:<math>z'=x'+iy'=\frac{az+b}{cz+d},</math>

对 <math>ad-bc=1</math>，则我们可算得

:<math>x'=\frac{ac(x^2+y^2)+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^2},</math>

与

:<math>y'=\frac{y}{|cz+d|^2},</math>

无穷小变换为

:<math>dz'=\frac{dz}{(cz+d)^2},</math> 

从而

:<math>dz'd\overline{z}' = \frac{dz\,d\overline{z}}{|cz+d|^4}.</math>

这样便清楚地表明度量张量在 SL(2,'''R''') 的作用下不变。

不变[[体积元素]]为

:<math>d\mu=\frac{dx\,dy}{y^2}.</math>

对 <math>z_1,z_2 \in \mathbb{H}</math> 度量为

:<math>\rho(z_1,z_2)=2\tanh^{-1}\frac{|z_1-z_2|}{|z_1-\overline{z_2}|},</math>

:<math>\rho(z_1,z_2)=\log\frac{|z_1-\overline{z_2}|+|z_1-z_2|}{|z_1-\overline{z_2}|-|z_1-z_2|}.</math>


度量的另一个有用的形式是用'''[[交比]]'''给出。给定[[黎曼球面|紧化复平面]] <math>\hat {\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \infty</math> 上任意四点 <math>z_1,z_2,z_3</math> 与<math>z_4</math>，交比定义为

:<math>(z_1,z_2; z_3,z_4) = 
\frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_2-z_3)(z_4-z_1)}.</math>

那么度量用交比表示为

:<math> \rho(z_1,z_2)= \ln (z_1,z_2^\times ; z_2, z_1^\times).</math>

这里 <math>z_1^\times</math> 与 <math>z_2^\times</math> 是端点，位于实数轴上，测地线连接 <math>z_1</math> 与 <math>z_2</math>。这些点是有顺序的故 <math>z_1</math> 位于 <math>z_1^\times</math> 与 <math>z_2</math> 之间。

这个度量张量的[[测地线]]是在两个端点处垂直于实轴的圆弧（的一段），即端点位于实轴的上半圆周。

==从平面到圆盘的共形映射==
上半平面可以[[共形映射|共形地]]映到[[单位圆盘]]，用[[莫比乌斯变换]]

:<math>w=e^{i\phi}\frac{z-z_0}{z-\overline {z_0}} ,</math>

这里单位圆盘上的点 ''w'' 对应于上半平面上的点 ''z''。在这个映射中，常数 ''z''<sub>0</sub> 可取上半平面上任何一点；这个点将映为圆盘的中心。实数轴 <math>\Im z =0</math> 映为单位圆盘的边界 <math>|w|=1</math>。实常数 <math>\phi</math> 将圆盘旋转任意一个角度。

典范映射是

:<math>w=\frac{iz+1}{z+i}</math>

将 ''i'' 映为圆盘的中心，0 映为圆盘的最低点。

==庞加莱圆盘上的度量与体积元素==
[[庞加莱圆盘模型]]里的'''庞加莱度量张量'''在[[单位圆盘]] <math>U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{(x^2+y^2)} \leq 1 \}</math> 上为

:<math>ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dz\,d\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}.</math>

体积形式为
:<math>d\mu=\frac{dx\,dy}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dx\,dy}{(1-|z|^2)^2}.</math>

对 <math>z_1,z_2 \in U </math> 的庞加莱度量为
:<math>\rho(z_1,z_2)=2\tanh^{-1}\left|\frac{z_1-z_2}{1-z_1\overline{z_2}}\right| .</math>

这个度量张量的测地线是在端点处正交于圆盘边界的圆弧。

==穿孔圆盘模型==
[[File:J-inv-modulus.jpeg|thumb|穿孔圆盘坐标上的 [[J-不变量]]（{{lang|en|J-invariant}}）；这是 nome 的一个函数。]]
[[File:J-inv-poincare.jpeg|thumb|庞加莱圆盘坐标上的 J-不变量；注意这个圆盘比文中给出的典范坐标旋转了90度。]]

第二个将[[上半平面]]映成[[圆盘]]是 [[q-类似|q-映射]]：

:<math>q=exp(i\pi\tau)</math>

这里 ''q'' 是 [[nome (数学)|nome]]（{{lang|en|Nome}}），<math>\tau</math> 是[[半周期比例]]（{{lang|en|half-period ratio}}）。在上一节的记号中，<math>\tau</math> 是上半平面 <math>\Im \tau >0</math> 的坐标。这个映射映到穿孔圆盘，因为值 ''q''=0 不在映射的[[值域|像]]中。

上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量

:<math>ds^2=\frac{4}{|q|^2 (\log |q|^2)^2} dq d\overline{q},</math>

度量的势能是

:<math>\Phi(q,\overline{q})=4 \log \log |q|^{-2}.</math>

==施瓦茨引理==
庞加莱度量在[[调和函数]]上[[压缩映射|距离减小]]。这是[[施瓦茨引理]]的一个推广，称为[[施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理]]（{{lang|en|Schwarz-Alhfors-Pick theorem}}）。

==另见==
*[[富克斯群]]（{{lang|en|Fuchsian group}}）
*[[富克斯模型]]（{{lang|en|Fuchsian model}}）
*[[克莱因群]]
*[[克莱因模型]]
*[[庞加莱圆盘模型]]
*[[庞加莱半平面模型]]
*[[本原测地线]]（{{lang|en|Prime geodesic}}）
*[[施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理]]

==引用==
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, ''Riemann Surfaces'' (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
* Jurgen Jost, ''Compact Riemann Surfaces'' (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X ''(See Section 2.3)''.
* Svetlana Katok, ''Fuchsian Groups'' (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 ''(Provides a simple, easily readable introduction.)''


[[Category:共形几何|P]]
[[Category:双曲几何|P]]
[[Category:黎曼几何|P]]
[[Category:黎曼曲面|P]]