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'''广义逆'''（Generalized inverse）<ref>{{cite web |url=https://www.math.wustl.edu/~sawyer/handouts/GenrlInv.pdf |title=Generalized Inverses: How to Invert a Non-Invertible Matrix |format=PDF |date= |accessdate=2016-07-10 |archive-date=2016-11-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161130152008/http://www.math.wustl.edu/~sawyer/handouts/GenrlInv.pdf |dead-url=no }}</ref>，是[[线性代数]]中针对[[矩阵]]的一种运算。一个矩阵''A''的广义逆叫做''A''的'''广义逆阵'''，是指具有部份[[逆矩阵]]的特性，但是不一定具有[[逆矩阵]]的所有特性的另一矩阵。假設一矩陣<math>A \in \mathbb{R}^{n\times m}</math>及另一矩陣<math>A^{\mathrm g} \in \mathbb{R}^{m\times n}</math>，若<math>A^{\mathrm g}</math>滿足<math> AA^{\mathrm g}A = A</math>，則<math>A^{\mathrm g}</math>即為<math>A</math>的广义逆阵。

广义逆也稱為'''偽逆'''（pseudoinverse）<ref>{{cite web |url=https://inst.eecs.berkeley.edu/~ee127a/book/login/def_pseudo_inv.html |title=Pseudo-Inverse of a Matrix |publisher=Inst.eecs.berkeley.edu |date=2014-02-11 |accessdate=2016-07-10 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160815124042/https://inst.eecs.berkeley.edu/~ee127a/book/login/def_pseudo_inv.html |archivedate=2016-08-15 }}</ref>，有些时候，偽逆特指[[摩尔－彭若斯广义逆]]。

建構广义逆阵的目的是針對可逆矩陣以外的矩陣（例如非方陣的矩陣）可以找到一矩陣有一些類似逆矩阵的特性。任意的矩陣都存在广义逆阵，若一矩陣存在[[逆矩阵]]，逆矩阵即為其唯一的广义逆阵。有些广义逆阵可以定義在和[[結合律]][[乘法]]有關的[[數學結構]]（例如[[半群]]）中。

==提出廣義逆陣的原因==
考慮以下的線性方程 
:<math>Ax=y</math>
其中<math>A</math>為<math>n\times m</math>的矩陣，而<math>y\in \mathcal R(A)</math> ， <math>A</math>的[[行空間與列空間|列空間]]。
若矩陣<math>A</math>為[[可逆矩陣]]，則<math>x=A^{-1}y</math>即為方程式的解。而若矩陣<math>A</math>為可逆矩陣 
:<math>AA^{-1}A=A </math>
假設矩陣<math>A</math>不可逆或是<math>n\neq m</math>，需要一個適合的<math>m\times n</math>矩陣<math>G</math>使得下式成立
:<math>AGy=y </math>
因此<math>Gy</math>為線性系統<math>Ax = y</math>的解。
而同樣的，<math>m\times n</math>階的矩陣<math>G</math>也會使下式成立
:<math>AGA=A </math>
因此可以用以下的方式定義'''广义逆阵'''：假設一個<math>n \times m</math>的矩陣<math>A</math>，<math>m \times n</math>的矩陣<math>G</math>若可以使下式成立，矩陣<math>G</math>即為<math>A</math>的广义逆阵

:<math>AGA=A </math>

== 產生廣義逆陣 ==
以下是一種產生廣義逆陣的方式<ref>Bapat, Ravindra B. Linear algebra and linear models. Springer Science & Business Media, 2012.[http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-1-4471-2739-0 springer.com/book] {{Wayback|url=http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-1-4471-2739-0 |date=20160910015132 }}</ref>：
# 若<math>A=BC</math>為其{{le|秩分解|rank factorization}}，則<math>G= C_r^- B_l^-</math>為<math>A</math>的廣義逆陣，其中<math>C_r^-</math>為<math>C</math>的右逆矩陣，而<math>B_l^-</math>為<math>B</math>的左逆矩陣。
# 若<math>A=P\begin{bmatrix}I_r  & 0\\0 & 0\end{bmatrix} Q</math>，其中<math>P</math>及<math>Q</math>為可逆矩陣，則<math>G=Q^{-1}\begin{bmatrix}I_r & U \\W & V\end{bmatrix} P^{-1}</math>是<math>A</math>的廣義逆陣，其中<math>U,V</math>及<math>W</math>均為任意矩陣。
# 令<math>A</math>為[[秩 (线性代数)|秩]]為<math>r</math>的矩陣，在不失一般性的情形下，令<math>A=\begin{bmatrix}B &C \\D  & E\end{bmatrix}</math>，其中<math>B_{r\times r}</math>為<math>A</math>的可逆子矩陣，則<math>G=\begin{bmatrix} B^{-1} & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}</math>為<math>A</math>的廣義逆陣。

==广义逆阵的種類==
彭若斯條件可以用來定義不同的广义逆阵：針對<math>A \in \mathbb{R}^{n\times m}</math>及<math>A^{\mathrm g} \in \mathbb{R}^{m\times n},</math>
{|
| 1.) ||  <math>AA^{\mathrm g}A = A</math> 
|-
| 2.) || <math>A^{\mathrm g}AA^{\mathrm g}= A^{\mathrm g}</math> 
|-
| 3.) || <math>(AA^{\mathrm g})^{\mathrm T} = AA^{\mathrm g}</math> 
|-
| 4.) || <math>(A^{\mathrm g}A)^{\mathrm T} = A^{\mathrm g}A</math> 
|} 
 
若<math>A^{\mathrm g}</math>滿足條件(1.)，即為<math>A</math>的广义逆阵，若滿足條件(1.)和(2.)，則為<math>A</math>的廣義反身逆陣（generalized reflexive inverse），若四個條件都滿足，則為<math>A</math>的[[摩尔－彭若斯广义逆]]。

以下是一些其他種類的广义逆阵 
* 單邊逆矩陣（左逆矩陣或是右逆矩陣）若矩陣''A''的維度是<math>n \times m</math>且為 [[秩_(线性代数)|满秩]]，若<math>n > m</math>則用左逆矩陣，若<math>n < m</math>則用右逆矩陣。
** 左逆矩陣為<math>A_{\mathrm{left}}^{-1} = \left(A^{\mathrm T} A\right)^{-1} A^{\mathrm T}</math>，也就是<math>A_{\mathrm{left}}^{-1} A = I_m</math>，其中<math>I_m</math>為<math>m \times m</math>[[單位矩陣]]。
** 右逆矩陣為<math>A_{\mathrm{right}}^{-1} = A^{\mathrm T} \left(A A^{\mathrm T}\right)^{-1}</math>，也就是<math>A A_{\mathrm{right}}^{-1} = I_n</math>，其中 <math>I_n</math>為<math>n \times n</math>單位矩陣。
* {{le|德拉任逆矩陣|Drazin inverse}}
* {{le|博特-達芬逆矩陣|Bott–Duffin inverse}}
* [[摩尔－彭若斯广义逆]]

==應用==
任何一種广义逆阵都可以用來判斷[[线性方程组]]是否有解，若有解時列出其所有的解<ref name=James>{{cite journal|author=James, M.|title=The generalised inverse|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1978-06_62_420/page/109|journal=Mathematical Gazette|volume=62|date=June 1978|pages=109–114|doi=10.2307/3617665 }}</ref>。若以下''n'' × ''m''的線性系統有解存在
:<math>Ax=b</math>

其中向量<math>x</math>為未知數，向量''b''為常數，以下是所有的解

:<math>x=A^{\mathrm g}b + [I-A^{\mathrm g}A]w</math>

其中參數''w''為任意矩陣，而<math>A^{\mathrm g}</math>為<math>A</math>的任何一個广义逆阵。解存在的條件若且唯若<math>A^{\mathrm g}b</math>為其中一個解，也就是若且唯若<math>AA^{\mathrm g}b=b</math>。

== 參考資料==
{{reflist}}
* {{cite book| authors= Yoshihiko Nakamura  | title= * Advanced Robotics: Redundancy and Optimization| url= https://archive.org/details/advancedrobotics0000naka  |
publisher=Addison-Wesley  |year= 1991 |ISBN =0201151987}}
* {{cite journal| last1=Zheng| first1=B| last2=Bapat|first2=  R. B.| title=Generalized inverse A(2)T,S and a rank equation| journal=Applied Mathematics and Computation| volume=155| pages=407–415| year=2004| doi=10.1016/S0096-3003(03)00786-0}}
* {{cite book| authors= S. L. Campbell and C. D. Meyer | title= Generalized Inverses of Linear Transformations| url= https://archive.org/details/generalizedinver0000camp |
publisher=Dover |year=1991 |ISBN =978-0-486-66693-8}}
* {{cite book|authors=Adi Ben-Israel and Thomas N.E. Greville|title=Generalized inverses. Theory and applications|edition=2nd|location=New York, NY|publisher=Springer|year=2003|ISBN=0-387-00293-6|url=http://link.springer.com/book/10.1007/b97366/page/1|access-date=2016-07-08|archive-date=2016-08-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20160818040703/http://link.springer.com/book/10.1007/b97366/page/1|dead-url=no}}
* {{cite book| authors=C. R. Rao and C. Radhakrishna Rao and Sujit Kumar Mitra| title = Generalized Inverse of Matrices and its Applications | url=https://archive.org/details/generalizedinver0000raoc| publisher= John Wiley & Sons |location = New York |year= 1971 | pages=[https://archive.org/details/generalizedinver0000raoc/page/240 240] |ISBN =0-471-70821-6}}

== 相關條目==
*[[反元素]]
*[[摩尔－彭若斯广义逆]]
*{{le|弱逆|Weak inverse}}

== 外部連結 ==
* [https://web.archive.org/web/20070929111708/http://www.ams.org/msc/15-xx.html 15A09] [[数学学科分类标准]]中對於反矩陣及广义逆阵的分類 [http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=15A09&co6=AND&pg7=ALLF&s7=&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All search]{{dead link|date=2017年12月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}

[[Category:矩陣]]
[[Category:数学术语]]